Bá» 5 Äá» thi chá»n HSG mÃ´n ToÃ¡n lá»p 10 – TrÆ°á»ng THPT TrÆ°ng VÆ°Æ¡ng

admin9 Tháng Hai, 2022

0 17 16 minutes read

Äá» giÃºp cÃ¡c em há»c sinh lá»p 12 cÃ³ thÃªm tÃ i liá»u Äá» Ã´n táºp chuáº©n bá» trÆ°á»c kÃ¬ thi HSG sáº¯p tá»i HOC247 giá»i thiá»u Äáº¿n cÃ¡c em tÃ i liá»u Bá» 5 Äá» thi chá»n HSG mÃ´n ToÃ¡n lá»p 10 – TrÆ°á»ng THPT TrÆ°ng VÆ°Æ¡ng vá»i pháº§n Äá» vÃ ÄÃ¡p Ã¡n giÃºp cÃ¡c em tá»± luyá»n táºp lÃ m Äá». Hi vá»ng tÃ i liá»u nÃ y sáº½ cÃ³ Ãch cho cÃ¡c em, chÃºc cÃ¡c em cÃ³ káº¿t quáº£ há»c táºp tá»t!

TRÆ¯á»NG THPT TRÆ¯NG VÆ¯Æ NG

Äá» THI HSG Lá»P 10

MÃN TOÃN

Thá»i gian: 150 phÃºt

1. Äá» Sá» 1

CÃ¢u I (2,0 Äiá»m)

Cho parabol (P): (y = – {x^2}) vÃ ÄÆ°á»ng tháº³ng (d) Äi qua Äiá»m I(0; -1) vÃ cÃ³ há» sá» gÃ³c lÃ k. Gá»i A vÃ B lÃ cÃ¡c giao Äiá»m cá»§a (P) vÃ (d). Giáº£ sá» A, B láº§n lÆ°á»£t cÃ³ hoÃ nh Äá» lÃ x₁, x₂.

1) TÃ¬m k Äá» trung Äiá»m cá»§a Äoáº¡n tháº³ng AB náº±m trÃªn trá»¥c tung.

2) Chá»©ng minh ráº±ng (left| {x_1^3 – x_2^3} right| ge 2left( {forall k in R} right))

CÃ¢u II (3,0 Äiá»m)

1) Giáº£i phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh: (sqrt {3x + 1} + sqrt {5x + 4} = 3{x^2} – x + 3)

2) Giáº£i há» phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh: (left{ begin{array}{l} {x^2} + {x^3}y – x{y^2} + xy – y = 1\ {x^4} + {y^2} – xy(2x – 1) = 1 end{array} right.)

CÃ¢u III (4 Äiá»m)

1) Trong máº·t pháº³ng tá»a Äá» Oxy cho tam giÃ¡c ABC cÃ³ Äá»nh A(2;6), chÃ¢n ÄÆ°á»ng phÃ¢n giÃ¡c trong káº» tá»« Äá»nh A lÃ Äiá»m (Dleft( {2; – frac{3}{2}} right)), tÃ¢m ÄÆ°á»ng trÃ²n ngoáº¡i tiáº¿p tam giÃ¡c ABC lÃ Äiá»m (Ileft( { – frac{1}{2};1} right)). Viáº¿t phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh cá»§a ÄÆ°á»ng tháº³ng BC.

2) Cho tam giÃ¡c ABC cÃ³ BC = a;CA = b;BA = c (b â c) vÃ diá»n tÃch lÃ S. KÃ hiá»u ({m_a};{rm{ }}{m_b};{rm{ }}{m_c}) láº§n lÆ°á»£t lÃ Äá» dÃ i cá»§a cÃ¡c ÄÆ°á»ng trung tuyáº¿n káº» tá»« cÃ¡c Äá»nh A, B, C. Biáº¿t ráº±ng (2m_a^2 ge m_b^2 + m_c^2).

a) Chá»©ng minh ráº±ng ({a^2} le 4S.{rm{cot}}A)

b) Gá»i O vÃ G láº§n lÆ°á»£t lÃ tÃ¢m ÄÆ°á»ng trÃ²n ngoáº¡i tiáº¿p vÃ trá»ng tÃ¢m tam giÃ¡c ABC; M lÃ trung Äiá»m cá»§a BC. Chá»©ng minh ráº±ng gÃ³c (angle MGO) khÃ´ng nhá»n.

CÃ¢u IV (1 Äiá»m)

Cho a, b, c lÃ cÃ¡c sá» thá»±c dÆ°Æ¡ng thay Äá»i vÃ thá»a mÃ£n (a + b + c = frac{{3sqrt 3 }}{{sqrt 2 }}). TÃ¬m giÃ¡ trá» lá»n nháº¥t cá»§a biá»u thá»©c (M = frac{1}{{{a^2} + {b^2} + 3}} + frac{1}{{{b^2} + {c^2} + 3}} + frac{1}{{{c^2} + {a^2} + 3}}).

ÄÃP ÃN

CÃ¢u	Ná»i dung	Äiá»m
I	Cho parabol (P): y = -x² vÃ ÄÆ°á»ng tháº³ng (d) Äi qua Äiá»m I(0;-1) vÃ cÃ³ há» sá» gÃ³c lÃ k. Gá»i A vÃ B lÃ cÃ¡c giao Äiá»m cá»§a (P) vÃ (d). Giáº£ sá» A, B láº§n lÆ°á»£t cÃ³ hoÃ nh Äá» lÃ x₁; x₂. 1) TÃ¬m m Äá» trung Äiá»m cá»§a Äoáº¡n tháº³ng AB náº±m trÃªn trá»¥c tung.	1,0
	+ ÄÆ°á»ng tháº³ng (d) cÃ³ pt: y = kx – 1	0,25
	+ PT tÆ°Æ¡ng giao (d) vÃ (P): ( – {x^2} = kx – 1 Leftrightarrow {x^2} + kx – 1 = 0(*))	0,25
	+ (*) luÃ´n cÃ³ 2 nghiá»m phÃ¢n biá»t x₁, x₂ vÃ¬ (Delta = {k^2} + 4 > 0left( {forall k} right))	0,25
	+ Trung Äiá»m M cá»§a AB cÃ³ hoÃ nh Äá» lÃ (frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = frac{{ – k}}{2}); M náº±m trÃªn trá»¥c tung â (frac{{ – k}}{2} = 0 Leftrightarrow k = 0)	0,25
	2) Chá»©ng minh ráº±ng (left\| {x_1^3 – x_2^3} right\| ge 2left( {forall k in R} right))	1,0
	Theo Vi et cÃ³: ({x_1} + {x_2} = – k,{x_1}{x_2} = – 1)	0,25
	Ta cÃ³: (left\| {x_1^3 – x_2^3} right\| = left\| {({x_1} – {x_2})left[ {{{({x_1} + {x_2})}^2} – {x_1}{x_2}} right]} right\|) = (left\| {{x_1} – {x_2}} right\|.left\| {{{({x_1} + {x_2})}^2} – {x_1}{x_2}} right\|)	0,25
	CÃ³ ({left\| {{x_1} – {x_2}} right\|^2} = {left( {{x_1} + {x_2}} right)^2} – 4{x_1}{x_2} = {k^2} + 4)	0,25
	( Rightarrow left\| {x_1^3 – x_2^3} right\| = sqrt {{k^2} + 4} ({k^2} + 1) ge 2,forall k in R) Äáº³ng thá»©c xáº£y ra khi k = 0	0,25
II	1) Giáº£i phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh: (sqrt {3x + 1} + sqrt {5x + 4} = 3{x^2} – x + 3) (1)	1,5
	Äiá»u kiá»n: (x ge – frac{1}{3})	0,25
	(1) (Leftrightarrow left( {sqrt {3x + 1} – 1} right) + left( {sqrt {5x + 4} – 2} right) = 3{x^2} – x) ( Leftrightarrow frac{{3x}}{{sqrt {3x + 1} + 1}}frac{{5x}}{{sqrt {5x + 4} + 2}} = xleft( {3x – 1} right)).	0,25
	(left[ begin{array}{l} x = 0(TM)\ frac{3}{{sqrt {3x + 1} + 1}} + frac{5}{{sqrt {5x + 4} + 2}} = 3x – 1,,,(*) end{array} right.)	0,25
	Vá»i x = 1: VT() = 2 = VP() nÃªn x = 1 lÃ má»t nghiá»m cá»§a (*)	0,25
	Náº¿u x > 1 thÃ¬ VT() < 2 < VP()	0,25
	Náº¿u x < 1 thÃ¬ VT() > 2 > VP(). Váºy (1) cÃ³ 2 nghiá»m x = 0; x = 1	0,25
	2) Giáº£i há» phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh: (left{ begin{array}{l} {x^2} + {x^3}y – x{y^2} + xy – y = 1(1)\ {x^4} + {y^2} – xy(2x – 1) = 1(2) end{array} right.(*))	1,5
	((*) Leftrightarrow left{ begin{array}{l} ({x^2} – y) + xy({x^2} – y) + xy = 1\ {left( {{x^2} – y} right)^2} + xy = 1 end{array} right.)	0,25
	Äáº·t (left{ begin{array}{l} a = {x^2} – y\ b = xy end{array} right.). Há» trá» thÃ nh: (left{ begin{array}{l} a + ab + b = 1\ {a^2} + b = 1 end{array} right.) (*)	0,25
	Há» ((*) Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {a^3} + {a^2} – 2a = 0\ b = 1 – {a^2} end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a({a^2} + a – 2) = 0\ b = 1 – {a^2} end{array} right.) Tá»« ÄÃ³ tÃ¬m ra ((a;,,b) in left{ {(0;,,1);,,(1;,,0);,,( – 2;, – 3)} right})	0,25
	Vá»i (a;b) = (0; 1) ta cÃ³ há» (left{ begin{array}{l} {x^2} – y = 0\ xy = 1 end{array} right. Leftrightarrow x = y = 1).	0,25
	Vá»i (a;b) = (1;0) ta cÃ³ há» (left{ begin{array}{l} {x^2} – y = 1\ xy = 0 end{array} right. Leftrightarrow (x;y) = (0; – 1);(1;0);( – 1;0)).	0,25
	Vá»i (a;b) = (-2;-3) ta cÃ³ há» (left{ begin{array}{l} {x^2} – y = – 2\ xy = – 3 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} y = – frac{3}{x}\ {x^3} + 2x + 3 = 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} y = – frac{3}{x}\ (x + 1)({x^2} – x + 3) = 0 end{array} right. Leftrightarrow x = – 1;,,y = 3) Káº¿t luáºn: Há» cÃ³ 5 nghiá»m ((x;y) in left{ {(1;,,1);(0;, – 1);(1;,,0);( – 1;,,0);( – 1;,,3)} right}).	0,25

—(Ná»i dung Äáº§y Äá»§, chi tiáº¿t pháº§n ÄÃ¡p Ã¡n cá»§a Äá» thi sá» 1 vui lÃ²ng xem táº¡i online hoáº·c ÄÄng nháºp Äá» táº£i vá» mÃ¡y)—

2. Äá» Sá» 2

CÃ¢u 1. (2,5 Äiá»m)

Cho hÃ m sá» (y = {x^2} – 2x + 2) cÃ³ Äá» thá» (P) vÃ ÄÆ°á»ng tháº³ng (d) cÃ³ phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh y = x + m.

1.Váº½ Äá» thá» (P)

2.TÃ¬m m Äá» ÄÆ°á»ng tháº³ng d cáº¯t (P) táº¡i hai Äiá»m phÃ¢n biá»t A, B sao cho (O{A^2},, + ,,O{B^2},, = ,,82)

CÃ¢u 2. (3,5 Äiá»m)

1.Giáº£i vÃ biá»n luáºn phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh: (frac{{left( {m + 1} right)left( {m + 2} right)x}}{{2x + 1}} = m + 2)

2. Giáº£i phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh (frac{2}{{3{x^2} – 4x + 1}} + frac{{13}}{{3{x^2} + 2x + 1}} = ;frac{6}{x})

3. Giáº£i há» phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh (left{ begin{array}{l} {x^2}left( {{y^2} + 1} right) + 2yleft( {{x^2} + x + 1} right) = 3\ left( {{x^2} + x} right)left( {{y^2} + y} right) = 1 end{array} right.)

CÃ¢u 3. (2,0 Äiá»m)

1. Trong máº·t pháº³ng tá»a Äá» Oxy cho tam giÃ¡c ABC biáº¿t A(1; -2); B(3; -5) vÃ C(2; 2). TÃ¬m tá»a Äá» Äiá»m E lÃ giao Äiá»m cá»§a BC vá»i ÄÆ°á»ng phÃ¢n giÃ¡c ngoÃ i cá»§a gÃ³c A

2. Cho hÃ¬nh thang vuÃ´ng ABCD, ÄÆ°á»ng cao AB = 2a, ÄÃ¡y lá»n BC = 3a; AD = 2a. Gá»i I lÃ trung Äiá»m cá»§a CD, tÃnh (overrightarrow {AI} .overrightarrow {BD} ). Tá»« ÄÃ³ suy ra gÃ³c giá»¯a hai vectÆ¡ (overrightarrow {AI}) vÃ (overrightarrow {BD} ).

CÃ¢u 4 (1,5 Äiá»m).

1.Tam giÃ¡c ABC cÃ³ Äáº·c Äiá»m gÃ¬ náº¿u: (sin A = frac{{sin B + 2sin C}}{{2cos B + c{rm{os}}C}})

2.Cho hai Äiá»m A vÃ B cá» Äá»nh. TÃ¬m táºp há»£p Äiá»m M thá»a mÃ£n Äiá»u kiá»n: MA² + MB² = k (vá»i k lÃ sá» thá»±c dÆ°Æ¡ng cho trÆ°á»c)

CÃ¢u 5 (0,5 Äiá»m).

Giáº£i há» phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh: (left{ begin{array}{l} (2x + 3)sqrt {4x – 1} + (2y + 3)sqrt {4y – 1} = 2sqrt {(2x + 3)(2y + 3)} \ y + x = 4xy end{array} right.)

ÄÃP ÃN

CÃ¢u	Lá»i giáº£i sÆ¡ lÆ°á»£c	Äiá»m
1.1	Váº½ Äá» thá» (y = {x^2} – 2x + 2) (P)	1.5
	NÃªu ÄÃºng txd, Äá»nh I(1; 1), trá»¥c Äá»i xá»©ng, chiá»u biáº¿n thiÃªn Váº½ ÄÃºng báº£ng biáº¿n thiÃªn	0.5 0.5 0.5
*1.2*		*1.0*
	HoÃ nh Äá» giao Äiá»m cá»§a d vÃ (P) lÃ nghiá»m phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh: ({x^2} – 2x + 2 = x + m Leftrightarrow {x^2} – 3x + 2 – m = 0;(1))	0,25
	Äá» d cáº¯t (P) táº¡i hai Äiá»m phÃ¢n biá»t A, B â (1) cÃ³ hai nghiá»m phÃ¢n biá»t â (Delta = 9 – 4(2 – m) > 0 Leftrightarrow 4m + 1 > 0 Leftrightarrow m > – 1/4) () Vá»i Äiá»u kiá»n (), gá»i hai giao Äiá»m lÃ (A({x_1};{x_1} + m),,B({x_2};{x_2} + m)), trong ÄÃ³ ({x_1},,{x_2}) lÃ cÃ¡c nghiá»m cá»§a (1). Theo Äá»nh lÃ½ Viet ta cÃ³: ({x_1} + {x_2} = 3,,{x_1}{x_2} = 2 – m).	0,25
	Ta cÃ³: (O{A^2} + O{B^2} = 82 Leftrightarrow x_1^2 + {left( {{x_1} + m} right)^2} + x_2^2 + {left( {{x_2} + m} right)^2} = 82) (begin{array}{l} Leftrightarrow 2left( {x_1^2 + x_2^2} right) + 2mleft( {{x_1} + {x_2}} right) + 2{m^2} = 82\ Leftrightarrow {left( {{x_1} + {x_2}} right)^2} – 2{x_1}{x_2} + mleft( {{x_1} + {x_2}} right) + {m^2} = 41 end{array})	0,25
	(begin{array}{l} Leftrightarrow 9 – 2(2 – m) + 3m + {m^2} = 41\ Leftrightarrow {m^2} + 5m – 36 = 0\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} m = 4\ m = – 9 end{array} right. end{array}) Äá»i chiáº¿u Äiá»u kiá»n (*) ta ÄÆ°á»£c m = 4 lÃ giÃ¡ trá» cáº§n tÃ¬m.	0,25

—(Ná»i dung Äáº§y Äá»§, chi tiáº¿t pháº§n ÄÃ¡p Ã¡n cá»§a Äá» thi sá» 2 vui lÃ²ng xem táº¡i online hoáº·c ÄÄng nháºp Äá» táº£i vá» mÃ¡y)—

3. Äá» Sá» 3

CÃ¢u 1 (2,0 Äiá»m):

1) GiaÌi phÆ°Æ¡ng triÌnh : ( x â 2 )² = 9

2) Giáº£i há» phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh: (left{ begin{array}{l} {rm{x + 2y – 2 = 0}}\ frac{x}{2} = frac{y}{3} + 1 end{array} right.).

CÃ¢u 2 (2,0 Äiá»m ):

1) RuÌt goÌ£n biá»u thá»©c: A = (left( {frac{{rm{1}}}{{{rm{ }}sqrt {rm{x}} – 3}} + frac{1}{{sqrt {rm{x}} + 3}}} right)left( {frac{{sqrt x }}{2} – frac{9}{{sqrt {4x} }}} right)) vá»i x > 0 vaÌ x khÃ¡c 9

2) TiÌm m ÄÃªÌ ÄÃ´Ì thiÌ£ haÌm sÃ´Ì y = (3m -2) x + m â 1 song song vÆ¡Ìi ÄÃ´Ì thiÌ£ haÌm sÃ´Ì y = x +5

CÃ¢u 3 (2 ,0 Äiá»m ):

1) MÃ´Ì£t khuÌc sÃ´ng tÆ°Ì bÃªÌn A ÄÃªÌn bÃªÌn B daÌi 45 km. MÃ´Ì£t ca nÃ´ Äi xuÃ´i doÌng tÆ°Ì A ÄÃªÌn B rÃ´Ìi ngÆ°Æ¡Ì£c doÌng tÆ°Ì B vÃªÌ A hÃªÌt tÃ¢Ìt caÌ 6 giÆ¡Ì 15 phuÌt. BiÃªÌt vÃ¢Ì£n tÃ´Ìc cuÌa doÌng nÆ°Æ¡Ìc laÌ 3 km/h.TiÌnh vÃ¢Ì£n tÃ´Ìc cuÌa ca nÃ´ khi nÆ°Æ¡Ìc yÃªn lÄÌ£ng.

2) TÃ¬m m Äá» phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh x² â 2 (2m +1)x + 4m²+ 4m = 0 coÌ hai nghiÃªÌ£m phÃ¢n biÃªÌ£t x₁, x₂ thá»a mÃ£n ÄiÃªÌu kiÃªÌ£n (left| {{x_1} – {x_2}} right| = ) x₁+ x₂

CÃ¢u 4 (3,0 Äiá»m ) :

Cho nÆ°Ìa ÄÆ°á»ng trÃ²n tÃ¢m O ÄÆ°á»ng kÃnh AB, trÃªn nÆ°Ìa ÄÆ°Æ¡Ìng troÌn lÃ¢Ìy ÄiÃªÌm C (C khaÌc A vaÌ B).TrÃªn cung BC lÃ¢Ìy ÄiÃªÌm D (D khaÌc B vaÌ C) .VeÌ ÄÆ°Æ¡Ìng thÄÌng d vuÃ´ng goÌc vÆ¡Ìi AB taÌ£i B.

CaÌc ÄÆ°Æ¡Ìng thÄÌng AC vaÌ AD cÄÌt d lÃ¢Ìn lÆ°Æ¡Ì£t taÌ£i E vaÌ F.

1) Chá»©ng minh tÆ°Ì giaÌc CDFE nÃ´Ì£i tiÃªÌp mÃ´Ì£t ÄÆ°Æ¡Ìng troÌn.

2) GoÌ£i I laÌ trung ÄiÃªÌm cuÌa BF. ChÆ°Ìng minh ID laÌ tiÃªÌp tuyÃªÌn cuÌa nÆ°Ìa ÄÆ°Æ¡Ìng troÌn ÄaÌ cho.

3) ÄÆ°Æ¡Ìng thÄÌng CD cÄÌt d taÌ£i K, tia phÃ¢n giaÌc cuÌa cÄÌt AE vaÌ AF lÃ¢Ìn lÆ°Æ¡Ì£t taÌ£i M vaÌ N. ChÆ°Ìng minh tam giaÌc AMN laÌ tam giaÌc cÃ¢n.

CÃ¢u 5 (1,0 Äiá»m ):

Cho a, b laÌ caÌc sÃ´Ì dÆ°Æ¡ng thay ÄÃ´Ìi thoaÌ maÌn a + b = 2.TiÌnh giaÌ triÌ£ nhoÌ nhÃ¢Ìt cuÌa biÃªÌu thÆ°Ìc

Q = (2left( {{a^2} + {b^2}} right) – 6left( {frac{a}{b} + frac{b}{a}} right) + 9left( {frac{1}{{{a^2}}} + frac{1}{{{b^2}}}} right))

ÄÃP ÃN

CÃ¢u	Pháº§n	Ná»i dung
1	1	(x-2)² = 9 â (left[ begin{array}{l} x – 2 = 3\ x – 2 = – 3 end{array} right.)
		â (left[ begin{array}{l} x = 3 + 2 = 5\ x = – 3 + 2 = – 1 end{array} right.)
		Váºy pt cÃ³ 2 nghiá»m lÃ x = 5 vÃ x = â 1.
	2	(left{ begin{array}{l} x + 2y – 2 = 0\ frac{x}{2} = frac{y}{3} + 1 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x + 2y = 2\ 3x – 2y = 6 end{array} right.)
		( Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 4x = 8\ x + 2y = 2 end{array} right.)
		(Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x = 2\ y = 0 end{array} right.)
		Váºy hpt cÃ³ 1 nghiá»m lÃ (x; y) = (2; 0).
2	1	Vá»i x> 0 vÃ x khÃ¡c 9 (A = left( {frac{{(sqrt x + 3) + (sqrt x – 3)}}{{(sqrt x + 3)(sqrt x – 3)}}} right)left( {frac{{sqrt x }}{2} – frac{9}{{2sqrt x }}} right))
		( = frac{{2sqrt x }}{{x – 9}}.frac{{x – 9}}{{2sqrt x }})
		= 1
	2	Äá» Äá» thá» hÃ m sá» y = ( 3m -2)x + m-1 song song vá»i Äá» thá» hÃ m sá» y = x+ 5 â (left{ begin{array}{l} 3m – 2 = 1\ m – 1 ne 5 end{array} right.)
		â (left{ begin{array}{l} m = 1\ m ne 6 end{array} right.)
		m = 1. Váºy : m = 1 thÃ¬ Äá» thá» hÃ m sá» y = ( 3m -2)x + m-1 song song vá»i Äá» thá» hÃ m sá» y = x+ 5

—(Ná»i dung Äáº§y Äá»§, chi tiáº¿t pháº§n ÄÃ¡p Ã¡n cá»§a Äá» thi sá» 3 vui lÃ²ng xem táº¡i online hoáº·c ÄÄng nháºp Äá» táº£i vá» mÃ¡y)—

4. Äá» Sá» 4

CÃ¢u 1 (2,0 Äiá»m): Giáº£i cÃ¡c phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh sau:

1) ({x^2} = – 4x)

2) (sqrt {{{left( {2x – 3} right)}^2}} = 7)

CÃ¢u 2 (2,0 Äiá»m):

RÃºt gá»n biá»u thá»©c (P = left( {frac{1}{{a – sqrt a }} + frac{1}{{sqrt a – 1}}} right):frac{{sqrt a + 1}}{{a – sqrt a }}) vá»i a > 0 vÃ a khÃ¡c 1.

2) TÃ¬m m Äá» Äá» thá» cÃ¡c hÃ m sá» y = 2x + 2 vÃ y = x + m – 7 cáº¯t nhau táº¡i Äiá»m náº±m trong gÃ³c pháº§n tÆ° thá»© II.

CÃ¢u 3 (2,0 Äiá»m):

1) Hai giÃ¡ sÃ¡ch trong má»t thÆ° viá»n cÃ³ táº¥t cáº£ 357 cuá»n sÃ¡ch. Sau khi chuyá»n 28 cuá»n sÃ¡ch tá»« giÃ¡ thá»© nháº¥t sang giÃ¡ thá»© hai thÃ¬ sá» cuá»n sÃ¡ch á» giÃ¡ thá»© nháº¥t báº±ng (frac{1}{2}) sá» cuá»n sÃ¡ch cá»§a giÃ¡ thá»© hai. TÃ¬m sá» cuá»n sÃ¡ch ban Äáº§u cá»§a má»i giÃ¡ sÃ¡ch.

2) Gá»i x₁, x₂ lÃ hai nghiá»m cá»§a phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh ({x^2} + 5x – 3 = 0). TÃnh giÃ¡ trá» cá»§a biá»u thá»©c: Q = (x_1^3 + x_2^3).

CÃ¢u 4 (3,0 Äiá»m):

Cho tam giÃ¡c ABC vuÃ´ng táº¡i A, káº» AH vuÃ´ng gÃ³c vá»i BC táº¡i H. TrÃªn cáº¡nh BC láº¥y Äiá»m M (M khÃ¡c B, C vÃ H). Káº» ME vuÃ´ng gÃ³c vá»i AB táº¡i E; MF vuÃ´ng gÃ³c vá»i AC táº¡i F.

3) Giáº£ sá» (widehat {{rm{MAC}}} = {45^0}). Chá»©ng minh (frac{{{rm{BE}}}}{{{rm{CF}}}}{rm{ = }}frac{{{rm{HB}}}}{{{rm{HC}}}}).

CÃ¢u 5 (1,0 Äiá»m):

Cho hai sá» dÆ°Æ¡ng x, y thay Äá»i thoáº£ mÃ£n xy = 2. TÃ¬m giÃ¡ trá» nhá» nháº¥t cá»§a biá»u thá»©c (M = frac{1}{x} + frac{2}{y} + frac{3}{{2x + y}}).

ÄÃP ÃN

CÃ¢u	Ã	Ná»i dung	Äiá»m
1	1	({x^2} = – 4x) (1)	1,00
		CÃ³ (1) ( Leftrightarrow {x^2} + 4x = 0) ( Leftrightarrow xleft( {x + 4} right) = 0) ( Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 0\ x = – 4 end{array} right.).	0,25 0,25 0,5
	2	(sqrt {{{left( {2x – 3} right)}^2}} = 7) (2)	1,00
		CÃ³ (2) ( Leftrightarrow left\| {2x – 3} right\| = 7) ( Leftrightarrow left[ begin{array}{l} 2x – 3 = 7\ 2x – 3 = – 7 end{array} right.) ( Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 5\ x = – 2 end{array} right.)	0,25 0,25 0,25 0,25
2	1	RÃºt gá»n biá»u thá»©c (P = left( {frac{1}{{a – sqrt a }} + frac{1}{{sqrt a – 1}}} right):frac{{sqrt a + 1}}{{a – sqrt a }}) vá»i a > 0 vÃ a khÃ¡c 1	1,00
		CÃ³ (frac{1}{{a – sqrt a }} + frac{1}{{sqrt a – 1}} = frac{1}{{sqrt a left( {sqrt a – 1} right)}} + frac{1}{{sqrt a – 1}} = frac{{1 + sqrt a }}{{sqrt a left( {sqrt a – 1} right)}}) CÃ³ (frac{{sqrt a + 1}}{{a – sqrt a }} = frac{{sqrt a + 1}}{{sqrt a left( {sqrt a – 1} right)}}) Do ÄÃ³ (P = frac{{1 + sqrt a }}{{sqrt a left( {sqrt a – 1} right)}} cdot frac{{sqrt a left( {sqrt a – 1} right)}}{{1 + sqrt a }}) P = 1	0,25 0,25 0,25 0,25
	2	TÃ¬m m Äá» Äá» thá» cÃ¡c hÃ m sá» y = 2x + 2 vÃ y = x + m â 7 cáº¯t nhau táº¡i Äiá»m náº±m trong gÃ³c pháº§n tÆ° thá»© II	1,00
		VÃ¬ há» sá» gÃ³c 2 ÄÆ°á»ng tháº³ng khÃ¡c nhau(2(ne)1)( Hoáº·c nÃªu há» sau cÃ³ nghiá»m duy nháº¥t) nÃªn 2 ÄÆ°á»ng tháº³ng ÄÃ£ cho cáº¯t nhau. Toáº¡ Äá» giao Äiá»m cá»§a hai Äá» thá» hÃ m sá» y = 2x + 2 vÃ y = x + m â 7 lÃ nghiá»m cá»§a há» phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh: (left{ begin{array}{l} y = 2x + 2\ y = x + m – 7 end{array} right.) Giáº£i há» trÃªn cÃ³ (left{ begin{array}{l} x = m – 9\ y = 2m – 16 end{array} right.) VÃ¬ toáº¡ Äá» giao Äiá»m náº±m trong gÃ³c pháº§n tÆ° thá»© II nÃªn (left{ begin{array}{l} m – 9 < 0\ 2m – 16 > 0 end{array} right.) (Leftrightarrow left{ begin{array}{l} m < 9\ m > 8 end{array} right. Leftrightarrow 8 < m < 9)	0,25 0,25 0,25 0,25

—(Ná»i dung Äáº§y Äá»§, chi tiáº¿t pháº§n ÄÃ¡p Ã¡n cá»§a Äá» thi sá» 4 vui lÃ²ng xem táº¡i online hoáº·c ÄÄng nháºp Äá» táº£i vá» mÃ¡y)—

5. Äá» Sá» 5

CÃ¢u 1 (2,0 Äiá»m)

1) Giáº£i báº¥t phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh: (sqrt {{x^2} + 5} < 1 – 2x)

2) TÃ¬m cÃ¡c giÃ¡ trá» cá»§a m Äá» báº¥t phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh ((m – 1){x^2} – 2mx + 2(m + 1) < 0) nghiá»m ÄÃºng vá»i (forall x in R).

CÃ¢u 2 (2,0 Äiá»m)

1) Giáº£i phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh: (sqrt {3x + 1} + sqrt {5x + 4} = 3{x^2} – x + 3)

2) Giáº£i há» phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh: (left{ begin{array}{l} {x^2} + {x^3}y – x{y^2} + xy – y = 1\ {x^4} + {y^2} – xy(2x – 1) = 1 end{array} right.)

CÃ¢u 3 (2,0 Äiá»m)

1) Chá»©ng minh ráº±ng vá»i má»i (Delta)ABC ta luÃ´n cÃ³: (sin A + sin B = 2{rm{cos }}frac{C}{2}.{rm{cos}}frac{{A – B}}{2})

2) Chá»©ng minh ráº±ng vá»i (forall x in R) ta luÃ´n cÃ³: (4(sin x.begin{array}{*{20}{c}} {{{cos }^5}x} end{array} – {sin ^5}x.begin{array}{*{20}{c}} {cos x} end{array}) = sin 4x)

CÃ¢u 4 (3,0 Äiá»m)

Trong máº·t pháº³ng toáº¡ Äá» Oxy cho (Delta)ABC vá»i A(3; 2), B(5;-2), C(1; 1)

1) Viáº¿t phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh tá»ng quÃ¡t cá»§a ÄÆ°á»ng cao AH cá»§a (Delta)ABC.

2) Viáº¿t phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh ÄÆ°á»ng trÃ²n (E) cÃ³ tÃ¢m lÃ A vÃ tiáº¿p xÃºc vá»i ÄÆ°á»ng tháº³ng BC.

3) Cho sá» thá»±c k > 0. TÃ¬m tá»a Äá» cÃ¡c Äiá»m M trÃªn trá»¥c hoÃ nh sao cho vÃ©ctÆ¡ (overrightarrow u = k.overrightarrow {MA} + k.overrightarrow {MB} + 4k.overrightarrow {MC} ) cÃ³ Äá» dÃ i nhá» nháº¥t.

CÃ¢u 5 (1,0 Äiá»m)

Cho cÃ¡c sá» thá»±c a, b, x, y thoáº£ mÃ£n Äiá»u kiá»n (ax – by = sqrt 3 ). TÃ¬m giÃ¡ trá» nhá» nháº¥t cá»§a biá»u thá»©c (F = {a^2} + {b^2} + {x^2} + {y^2} + bx + ay).

ÄÃP ÃN

CÃ¢u	SÆ¡ lÆ°á»£c ÄÃ¡p Ã¡n	Äiá»m
1.1 (1Ä)	(BPT Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 1 – 2x ge 0\ {x^2} + 5 < {(1 – 2x)^2} end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x le 1/2\ 3{x^2} – 4x – 4 > 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x le 1/2\ x > 2begin{array}{{20}{c}} {} end{array} vee begin{array}{{20}{c}} {} end{array}x < – 2/3 end{array} right. Leftrightarrow x < – frac{2}{3})	4×0,25
1.2 (1Ä)	Â·TH1: Vá»i m = 1 thÃ¬ BPT cÃ³ dáº¡ng ( – 2x + 4 < 0 Leftrightarrow x > 2) â m = 1 khÃ´ng thá»a mÃ£n ycbt	0,25
1.2 (1Ä)	Â·TH2: Vá»i m khÃ¡c 1 thÃ¬ ycbt ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l} m – 1 < 0\ {Delta ^/} = {m^2} – 2({m^2} – 1) < 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} m < 1\ – {m^2} + 2 < 0 end{array} right. Leftrightarrow m < – sqrt 2 )	3×0,25
2.1 (1Ä)	ÄK: (x ge – frac{1}{3}) â PT ( Leftrightarrow frac{{3x}}{{sqrt {3x + 1} + 1}}frac{{5x}}{{sqrt {5x + 4} + 2}} = xleft( {3x – 1} right) Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 0(TM)\ frac{3}{{sqrt {3x + 1} + 1}} + frac{5}{{sqrt {5x + 4} + 2}} = 3x – 1,,,(*) end{array} right.)	0,5
2.1 (1Ä)	Â· XÃ©t PT (): Náº¿u x = 1: VT() = 2 = VP() nÃªn x = 1 lÃ má»t nghiá»m cá»§a () Náº¿u x > 1 thÃ¬ VT() < 2 < VP(); Náº¿u x < 1 thÃ¬ VT() > 2 > VP() Váºy (1) cÃ³ 2 nghiá»m x = 0; x = 1	0,5
2.2 (1Ä)	Äáº·t (a = {x^2} – y;begin{array}{{20}{c}} {} end{array}b = xy). Há» trá» thÃ nh: (left{ begin{array}{l} a + ab + b = 1\ {a^2} + b = 1 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {a^3} + {a^2} – 2a = 0\ b = 1 – {a^2} end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a = 0\ b = 1 end{array} right.begin{array}{{20}{c}} {} end{array} vee begin{array}{{20}{c}} {} end{array}left{ begin{array}{l} a = 1\ b = 0 end{array} right.begin{array}{{20}{c}} {} end{array} vee begin{array}{*{20}{c}} {} end{array}left{ begin{array}{l} a = – 2\ b = – 3 end{array} right.)	0,5
2.2 (1Ä)	Â·Vá»i (left{ begin{array}{l} a = 0\ b = 1 end{array} right.) ta cÃ³ há» (left{ begin{array}{l} {x^2} – y = 0\ xy = 1 end{array} right. Leftrightarrow x = y = 1). Â·Vá»i (left{ begin{array}{l} a = 1\ b = 0 end{array} right.) ta cÃ³ há» (left{ begin{array}{l} {x^2} – y = 1\ xy = 0 end{array} right. Leftrightarrow (x;y) = (0; – 1);(1;0);( – 1;0)). Â·Vá»i (left{ begin{array}{l} a = – 2\ b = – 3 end{array} right.) ta cÃ³ há» (left{ begin{array}{l} {x^2} – y = – 2\ xy = – 3 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} y = – 3/x\ {x^3} + 2x + 3 = 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x = – 1\ y = 3 end{array} right.,,). Káº¿t luáºn: Há» cÃ³ 5 nghiá»m .	0,5

—(Ná»i dung Äáº§y Äá»§, chi tiáº¿t pháº§n ÄÃ¡p Ã¡n cá»§a Äá» thi sá» 5 vui lÃ²ng xem táº¡i online hoáº·c ÄÄng nháºp Äá» táº£i vá» mÃ¡y)—

TrÃªn ÄÃ¢y lÃ má»t pháº§n trÃch dáº«n ná»i dung Bá» 5 Äá» thi chá»n HSG mÃ´n ToÃ¡n 10 nÄm 2021 cÃ³ ÄÃ¡p Ã¡n TrÆ°á»ng THPT TrÆ°ng VÆ°Æ¡ng. Äá» xem toÃ n bá» ná»i dung cÃ¡c em ÄÄng nháºp vÃ o trang hoc247.net Äá» táº£i tÃ i liá»u vá» mÃ¡y tÃnh.

Hy vá»ng tÃ i liá»u nÃ y sáº½ giÃºp cÃ¡c em há»c sinh Ã´n táºp tá»t vÃ Äáº¡t thÃ nh tÃch cao trong há»c táºp.

NgoÃ i ra cÃ¡c em cÃ³ thá» tham kháº£o thÃªm má»t sá» tÆ° liá»u cÃ¹ng chuyÃªn má»¥c táº¡i ÄÃ¢y: