Lớp 10

Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 10 – Trường THPT TrÆ°ng VÆ°Æ¡ng

Để giúp các em học sinh lớp 12 có thêm tài liệu để Ã´n tập chuẩn bị trước kì thi HSG sắp tới HOC247 giới thiệu đến các em tài liệu Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 10 – Trường THPT TrÆ°ng VÆ°Æ¡ng với phần đề và đáp án giúp các em tá»± luyện tập làm đề. Hi vọng tài liệu này sẽ có ích cho các em, chúc các em có kết quả học tập tốt!

TRƯỜNG THPT TRƯNG VƯƠNG

ĐỀ THI HSG LỚP 10

MÔN TOÁN

Thời gian: 150 phút

 

1. ĐỀ SỐ 1

Câu I (2,0 điểm)

Cho parabol (P): (y = – {x^2}) và đường thẳng (d) đi qua điểm I(0; -1) và có hệ số góc là k. Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d). Giả sá»­ A, B lần lượt có hoành độ là x1, x2.

1) Tìm k để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung.

2) Chứng minh rằng (left| {x_1^3 – x_2^3} right| ge 2left( {forall k in R} right))

Câu II (3,0 điểm)

1) Giải phÆ°Æ¡ng trình: (sqrt {3x + 1} + sqrt {5x + 4} = 3{x^2} – x + 3)

2) Giải hệ phÆ°Æ¡ng trình: (left{ begin{array}{l} {x^2} + {x^3}y – x{y^2} + xy – y = 1\ {x^4} + {y^2} – xy(2x – 1) = 1 end{array} right.)

Câu III (4 điểm)

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2;6), chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A là điểm (Dleft( {2; – frac{3}{2}} right)), tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm (Ileft( { – frac{1}{2};1} right)). Viết phÆ°Æ¡ng trình của đường thẳng BC.

2) Cho tam giác ABC có BC = a;CA = b;BA = c (b ≠ c) và diện tích là S. Kí hiệu ({m_a};{rm{ }}{m_b};{rm{ }}{m_c}) lần lượt là độ dài của các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C. Biết rằng (2m_a^2 ge m_b^2 + m_c^2)

a) Chứng minh rằng ({a^2} le 4S.{rm{cot}}A)

b) Gọi O và G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm tam giác ABC; M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng góc (angle MGO) không nhọn.

Câu IV (1 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn (a + b + c = frac{{3sqrt 3 }}{{sqrt 2 }}). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (M = frac{1}{{{a^2} + {b^2} + 3}} + frac{1}{{{b^2} + {c^2} + 3}} + frac{1}{{{c^2} + {a^2} + 3}})

ĐÁP ÁN

Câu

Nội dung

Điểm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

Cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng (d) đi qua điểm I(0;-1) và có hệ số góc là k. Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d). Giả sử A, B lần lượt có hoành độ là x1; x2.

1) Tìm m để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung.

1,0

+ Đường thẳng (d) có pt: y = kx – 1

0,25

+ PT tÆ°Æ¡ng giao (d) và (P): ( – {x^2} = kx – 1 Leftrightarrow {x^2} + kx – 1 = 0(*))

0,25

+ (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 vì (Delta = {k^2} + 4 > 0left( {forall k} right))

0,25

+ Trung điểm M của AB có hoành độ là (frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = frac{{ – k}}{2}); M nằm trên trục tung â‡” (frac{{ – k}}{2} = 0 Leftrightarrow k = 0)

0,25

2) Chứng minh rằng (left| {x_1^3 – x_2^3} right| ge 2left( {forall k in R} right))

1,0

Theo Vi et có: ({x_1} + {x_2} = – k,{x_1}{x_2} = – 1)

0,25

Ta có: (left| {x_1^3 – x_2^3} right| = left| {({x_1} – {x_2})left[ {{{({x_1} + {x_2})}^2} – {x_1}{x_2}} right]} right|)(left| {{x_1} – {x_2}} right|.left| {{{({x_1} + {x_2})}^2} – {x_1}{x_2}} right|)

0,25

Có ({left| {{x_1} – {x_2}} right|^2} = {left( {{x_1} + {x_2}} right)^2} – 4{x_1}{x_2} = {k^2} + 4)

0,25

( Rightarrow left| {x_1^3 – x_2^3} right| = sqrt {{k^2} + 4} ({k^2} + 1) ge 2,forall k in R)

Đẳng thức xảy ra khi k = 0 

0,25

 

 

 

 

 

 

II

 

 

 

 

1) Giải phÆ°Æ¡ng trình: (sqrt {3x + 1} + sqrt {5x + 4} = 3{x^2} – x + 3) (1)

1,5

 Äiều kiện: (x ge – frac{1}{3})

0,25

(1) (Leftrightarrow left( {sqrt {3x + 1} – 1} right) + left( {sqrt {5x + 4} – 2} right) = 3{x^2} – x)

( Leftrightarrow frac{{3x}}{{sqrt {3x + 1} + 1}}frac{{5x}}{{sqrt {5x + 4} + 2}} = xleft( {3x – 1} right)).

0,25

 

 

(left[ begin{array}{l} x = 0(TM)\ frac{3}{{sqrt {3x + 1} + 1}} + frac{5}{{sqrt {5x + 4} + 2}} = 3x – 1,,,(*) end{array} right.)

0,25

Với x = 1: VT(*) = 2 = VP(*) nên x = 1 là một nghiệm của (*)

0,25

Nếu x > 1 thì VT(*) < 2 < VP(*)

0,25

Nếu x < 1 thì VT(*) > 2 > VP(*). Vậy (1) có 2 nghiệm x = 0; x = 1

0,25

2) Giải hệ phÆ°Æ¡ng trình: (left{ begin{array}{l} {x^2} + {x^3}y – x{y^2} + xy – y = 1(1)\ {x^4} + {y^2} – xy(2x – 1) = 1(2) end{array} right.(*))

1,5

((*) Leftrightarrow left{ begin{array}{l} ({x^2} – y) + xy({x^2} – y) + xy = 1\ {left( {{x^2} – y} right)^2} + xy = 1 end{array} right.)

0,25

Đặt (left{ begin{array}{l} a = {x^2} – y\ b = xy end{array} right.). Hệ trở thành: (left{ begin{array}{l} a + ab + b = 1\ {a^2} + b = 1 end{array} right.) (*)

0,25

Hệ ((*) Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {a^3} + {a^2} – 2a = 0\ b = 1 – {a^2} end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a({a^2} + a – 2) = 0\ b = 1 – {a^2} end{array} right.)

Từ đó tìm ra ((a;,,b) in left{ {(0;,,1);,,(1;,,0);,,( – 2;, – 3)} right})

0,25

Với (a;b) = (0; 1) ta có hệ (left{ begin{array}{l} {x^2} – y = 0\ xy = 1 end{array} right. Leftrightarrow x = y = 1).

0,25

Với (a;b) = (1;0) ta có hệ (left{ begin{array}{l} {x^2} – y = 1\ xy = 0 end{array} right. Leftrightarrow (x;y) = (0; – 1);(1;0);( – 1;0)).

0,25

Với (a;b) = (-2;-3) ta có hệ

(left{ begin{array}{l} {x^2} – y = – 2\ xy = – 3 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} y = – frac{3}{x}\ {x^3} + 2x + 3 = 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} y = – frac{3}{x}\ (x + 1)({x^2} – x + 3) = 0 end{array} right. Leftrightarrow x = – 1;,,y = 3)

Kết luận: Hệ có 5 nghiệm ((x;y) in left{ {(1;,,1);(0;, – 1);(1;,,0);( – 1;,,0);( – 1;,,3)} right}).

0,25

—(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 1 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)—

2. ĐỀ SỐ 2

Câu 1. (2,5 điểm)

Cho hàm số (y = {x^2} – 2x + 2) có đồ thị (P) và đường thẳng (d) có phÆ°Æ¡ng trình y = x + m.

1.Vẽ đồ thị (P)

2.Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho (O{A^2},, + ,,O{B^2},, = ,,82)

Câu 2. (3,5 điểm)

1.Giải và biện luận phÆ°Æ¡ng trình: (frac{{left( {m + 1} right)left( {m + 2} right)x}}{{2x + 1}} = m + 2)

2. Giải phÆ°Æ¡ng trình (frac{2}{{3{x^2} – 4x + 1}} + frac{{13}}{{3{x^2} + 2x + 1}} = ;frac{6}{x})

3. Giải hệ phÆ°Æ¡ng trình (left{ begin{array}{l} {x^2}left( {{y^2} + 1} right) + 2yleft( {{x^2} + x + 1} right) = 3\ left( {{x^2} + x} right)left( {{y^2} + y} right) = 1 end{array} right.)

Câu 3. (2,0 điểm)

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(1; -2); B(3; -5) và C(2; 2). Tìm tọa độ điểm E là giao điểm của BC với đường phân giác ngoài của góc A

2. Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB = 2a, đáy lớn BC = 3a; AD = 2a. Gọi I là trung điểm của CD, tính (overrightarrow {AI} .overrightarrow {BD} ). Từ đó suy ra góc giữa hai vectÆ¡ (overrightarrow {AI}) và (overrightarrow {BD} ).

Câu 4 (1,5 điểm).  

1.Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu: (sin A = frac{{sin B + 2sin C}}{{2cos B + c{rm{os}}C}})

2.Cho hai điểm A và B cố định. Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện: MA2 + MB2 = k (với k là số thực dương cho trước)

Câu 5 (0,5 điểm).  

Giải hệ phÆ°Æ¡ng trình: (left{ begin{array}{l} (2x + 3)sqrt {4x – 1} + (2y + 3)sqrt {4y – 1} = 2sqrt {(2x + 3)(2y + 3)} \ y + x = 4xy end{array} right.)

ĐÁP ÁN

Câu

Lời giải sơ lược

Điểm

1.1

Vẽ đồ thị (y = {x^2} – 2x + 2) (P)

1.5

 

Nêu đúng txd, đỉnh I(1; 1), trục đối xứng, chiều biến thiên

Vẽ đúng bảng biến thiên

 

0.5

0.5

 

 

 

 

 

 

0.5

 

 

 

1.2

 

1.0

 

Hoành độ giao điểm của d và (P) là nghiệm phÆ°Æ¡ng trình: 

({x^2} – 2x + 2 = x + m Leftrightarrow {x^2} – 3x + 2 – m = 0;(1))

0,25

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ (Delta = 9 – 4(2 – m) > 0 Leftrightarrow 4m + 1 > 0 Leftrightarrow m > – 1/4) (*)

Với điều kiện (*), gọi hai giao điểm là (A({x_1};{x_1} + m),,B({x_2};{x_2} + m)), trong đó ({x_1},,{x_2}) là các nghiệm của (1). Theo định lý Viet ta có: ({x_1} + {x_2} = 3,,{x_1}{x_2} = 2 – m).

0,25

Ta có: (O{A^2} + O{B^2} = 82 Leftrightarrow x_1^2 + {left( {{x_1} + m} right)^2} + x_2^2 + {left( {{x_2} + m} right)^2} = 82)

(begin{array}{l} Leftrightarrow 2left( {x_1^2 + x_2^2} right) + 2mleft( {{x_1} + {x_2}} right) + 2{m^2} = 82\ Leftrightarrow {left( {{x_1} + {x_2}} right)^2} – 2{x_1}{x_2} + mleft( {{x_1} + {x_2}} right) + {m^2} = 41 end{array})

0,25

(begin{array}{l} Leftrightarrow 9 – 2(2 – m) + 3m + {m^2} = 41\ Leftrightarrow {m^2} + 5m – 36 = 0\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} m = 4\ m = – 9 end{array} right. end{array})

Đối chiếu điều kiện (*) ta được m = 4 là giá trị cần tìm.

0,25

—(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 2 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)—

3. ĐỀ SỐ 3

Câu 1 (2,0 điểm):

1) Giải phÆ°Æ¡ng trình : ( x – 2 )2 = 9

2) Giải hệ phÆ°Æ¡ng trình: (left{ begin{array}{l} {rm{x + 2y – 2 = 0}}\ frac{x}{2} = frac{y}{3} + 1 end{array} right.).

Câu 2 (2,0 điểm ):

1) Rút goÌ£n biểu thức: A = (left( {frac{{rm{1}}}{{{rm{ }}sqrt {rm{x}} – 3}} + frac{1}{{sqrt {rm{x}} + 3}}} right)left( {frac{{sqrt x }}{2} – frac{9}{{sqrt {4x} }}} right)) với x > 0 và  x khác 9

2) Tìm m để đồ thiÌ£ hàm số  y = (3m -2) x + m – 1 song song với đồ thiÌ£ hàm số y = x +5

Câu 3 (2 ,0 điểm ):

1) Một khúc sông từ bến A đến bến B dài 45 km. Một ca nô đi xuôi dòng từ A đến B rồi ngÆ°Æ¡Ì£c dòng từ B về A  hết tất cả 6 giờ 15 phút. Biết vận tốc của dòng nước là 3 km/h.Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng.

2) Tìm m để phÆ°Æ¡ng trình x2 – 2 (2m +1)x + 4m+ 4m = 0 có hai nghiệm  phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện (left| {{x_1} – {x_2}} right| = ) x1+ x2

Câu 4 (3,0 điểm ) :

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, trên nửa đường tròn lấy điểm C (C khác A và B).Trên cung BC lấy điểm D (D khác B và C) .Vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại B.

Các đường thẳng AC và AD  cắt d lần lÆ°Æ¡Ì£t taÌ£i E và F.

1) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp một đường tròn.

2) Gọi I là trung điểm của BF. Chứng minh ID là tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho.

3) Đường thẳng CD cắt d taÌ£i K, tia phân giác của  cắt AE và AF  lần lÆ°Æ¡Ì£t taÌ£i  M và N. Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân.

Câu 5 (1,0 điểm ):

Cho a, b là các số dÆ°Æ¡ng thay đổi thoả mãn a + b = 2.Tính giá triÌ£ nhỏ nhất  của biểu thức

Q = (2left( {{a^2} + {b^2}} right) – 6left( {frac{a}{b} + frac{b}{a}} right) + 9left( {frac{1}{{{a^2}}} + frac{1}{{{b^2}}}} right))

ĐÁP ÁN

Câu

Phần

Nội dung

 

 

 

 

1

 

 

 

1

(x-2)2 = 9 â‡” (left[ begin{array}{l} x – 2 = 3\ x – 2 = – 3 end{array} right.)

⇔ (left[ begin{array}{l} x = 3 + 2 = 5\ x = – 3 + 2 = – 1 end{array} right.)

Vậy pt có 2 nghiệm là x = 5 và x = – 1.

 

 

 

 

2

(left{ begin{array}{l} x + 2y – 2 = 0\ frac{x}{2} = frac{y}{3} + 1 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x + 2y = 2\ 3x – 2y = 6 end{array} right.)

( Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 4x = 8\ x + 2y = 2 end{array} right.)

(Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x = 2\ y = 0 end{array} right.)

Vậy hpt có 1 nghiệm là  (x; y) = (2; 0).

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

Với x> 0 và x khác 9

(A = left( {frac{{(sqrt x + 3) + (sqrt x – 3)}}{{(sqrt x + 3)(sqrt x – 3)}}} right)left( {frac{{sqrt x }}{2} – frac{9}{{2sqrt x }}} right))

( = frac{{2sqrt x }}{{x – 9}}.frac{{x – 9}}{{2sqrt x }})

= 1

 

 

 

 

2

Để đồ thị hàm số y = ( 3m -2)x + m-1 song song với đồ thị hàm số y = x+ 5

⇔ (left{ begin{array}{l} 3m – 2 = 1\ m – 1 ne 5 end{array} right.)

⇔ (left{ begin{array}{l} m = 1\ m ne 6 end{array} right.)

m = 1.

Vậy : m = 1 thì đồ thị hàm số y = ( 3m -2)x + m-1 song song với đồ thị hàm số

y = x+ 5

—(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 3 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)—

4. ĐỀ SỐ 4

Câu 1 (2,0 điểm): Giải các phương trình sau:

1) ({x^2} = – 4x)

2) (sqrt {{{left( {2x – 3} right)}^2}} = 7)

Câu 2 (2,0 điểm): 

Rút gọn biểu thức (P = left( {frac{1}{{a – sqrt a }} + frac{1}{{sqrt a – 1}}} right):frac{{sqrt a + 1}}{{a – sqrt a }}) với a > 0 và a khác 1.

2) Tìm m để đồ thị các hàm số y = 2x + 2 và y = x + m – 7 cắt nhau tại điểm nằm trong góc phần tÆ° thứ II.

Câu 3 (2,0 điểm):

1) Hai giá sách trong một thÆ° viện có tất cả 357 cuốn sách. Sau khi chuyển 28 cuốn sách từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số cuốn sách ở giá thứ nhất bằng (frac{1}{2}) số cuốn sách của giá thứ hai. Tìm số cuốn sách ban đầu của mỗi giá sách.

2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phÆ°Æ¡ng trình ({x^2} + 5x – 3 = 0). Tính giá trị của biểu thức: Q = (x_1^3 + x_2^3).

Câu 4 (3,0 điểm):

Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ AH vuông góc với BC tại H. Trên cạnh BC lấy điểm M (M khác B, C và H). Kẻ ME vuông góc với AB tại E; MF vuông góc với AC tại F.

1) Chứng minh các điểm A, E, F, H cùng nằm trên một đường tròn.

2) Chứng minh BE.CF = ME.MF.

3) Giả sử (widehat {{rm{MAC}}} = {45^0}). Chứng minh (frac{{{rm{BE}}}}{{{rm{CF}}}}{rm{ = }}frac{{{rm{HB}}}}{{{rm{HC}}}}).

Câu 5 (1,0 điểm): 

Cho hai số dương x, y thay đổi thoả mãn xy = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (M = frac{1}{x} + frac{2}{y} + frac{3}{{2x + y}}).

ĐÁP ÁN

Câu

Ý

Nội dung

Điểm

1

({x^2} = – 4x) (1)

1,00

 

 

Có (1) ( Leftrightarrow {x^2} + 4x = 0)

( Leftrightarrow xleft( {x + 4} right) = 0)

( Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 0\ x = – 4 end{array} right.).

0,25

0,25

0,5

2

(sqrt {{{left( {2x – 3} right)}^2}} = 7) (2)

1,00

 

Có (2) ( Leftrightarrow left| {2x – 3} right| = 7)

( Leftrightarrow left[ begin{array}{l} 2x – 3 = 7\ 2x – 3 = – 7 end{array} right.)

( Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 5\ x = – 2 end{array} right.)

0,25

0,25

0,25

0,25

2

1

Rút gọn biểu thức (P = left( {frac{1}{{a – sqrt a }} + frac{1}{{sqrt a – 1}}} right):frac{{sqrt a + 1}}{{a – sqrt a }}) với a > 0 và a khác 1

1,00

 

 

Có (frac{1}{{a – sqrt a }} + frac{1}{{sqrt a – 1}} = frac{1}{{sqrt a left( {sqrt a – 1} right)}} + frac{1}{{sqrt a – 1}} = frac{{1 + sqrt a }}{{sqrt a left( {sqrt a – 1} right)}})

Có (frac{{sqrt a + 1}}{{a – sqrt a }} = frac{{sqrt a + 1}}{{sqrt a left( {sqrt a – 1} right)}})

Do đó

(P = frac{{1 + sqrt a }}{{sqrt a left( {sqrt a – 1} right)}} cdot frac{{sqrt a left( {sqrt a – 1} right)}}{{1 + sqrt a }})

P = 1

0,25

0,25

0,25

0,25

2

Tìm m để đồ thị các hàm số y = 2x + 2 và y = x + m – 7 cắt nhau tại điểm nằm trong góc phần tư thứ II

1,00

 

Vì hệ số góc 2 đường thẳng khác nhau(2(ne)1)( Hoặc nêu hệ sau có nghiệm duy nhất) nên 2 đường thẳng đã cho cắt nhau. Toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = 2x + 2 và y = x + m – 7 là nghiệm của hệ phÆ°Æ¡ng trình: (left{ begin{array}{l} y = 2x + 2\ y = x + m – 7 end{array} right.)

Giải hệ trên có (left{ begin{array}{l} x = m – 9\ y = 2m – 16 end{array} right.)

Vì toạ độ giao điểm nằm trong góc phần tÆ° thứ II nên (left{ begin{array}{l} m – 9 < 0\ 2m – 16 > 0 end{array} right.)

(Leftrightarrow left{ begin{array}{l} m < 9\ m > 8 end{array} right. Leftrightarrow 8 < m < 9)

 

0,25

 

0,25

 

0,25

 

0,25

—(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 4 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)—

5. ĐỀ SỐ 5

Câu 1 (2,0 điểm)

1) Giải bất phÆ°Æ¡ng trình: (sqrt {{x^2} + 5} < 1 – 2x)

2) Tìm các giá trị của m để bất phÆ°Æ¡ng trình ((m – 1){x^2} – 2mx + 2(m + 1) < 0) nghiệm đúng với (forall x in R).

Câu 2 (2,0 điểm)

1) Giải phÆ°Æ¡ng trình: (sqrt {3x + 1} + sqrt {5x + 4} = 3{x^2} – x + 3)

2) Giải hệ phÆ°Æ¡ng trình: (left{ begin{array}{l} {x^2} + {x^3}y – x{y^2} + xy – y = 1\ {x^4} + {y^2} – xy(2x – 1) = 1 end{array} right.)

Câu 3 (2,0 điểm)

1) Chứng minh rằng với mọi (Delta)ABC ta luôn có: (sin A + sin B = 2{rm{cos }}frac{C}{2}.{rm{cos}}frac{{A – B}}{2})

2) Chứng minh rằng với (forall x in R) ta luôn có: (4(sin x.begin{array}{*{20}{c}} {{{cos }^5}x} end{array} – {sin ^5}x.begin{array}{*{20}{c}} {cos x} end{array}) = sin 4x) 

Câu 4 (3,0 điểm)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho (Delta)ABC với  A(3; 2), B(5;-2), C(1; 1)

1) Viết phương trình tổng quát của đường cao AH của (Delta)ABC.

2) Viết phÆ°Æ¡ng trình đường tròn (E) có tâm là  A  và tiếp xúc với đường thẳng BC.

3) Cho số thá»±c k > 0. Tìm tọa độ các điểm M trên trục hoành sao cho véctÆ¡ (overrightarrow u = k.overrightarrow {MA} + k.overrightarrow {MB} + 4k.overrightarrow {MC} ) có độ dài nhỏ nhất.

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho các số thá»±c a, b, x, y thoả mãn điều kiện (ax – by = sqrt 3 ). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (F = {a^2} + {b^2} + {x^2} + {y^2} + bx + ay).

ĐÁP ÁN

Câu

Sơ lược đáp án

Điểm

1.1

(1đ)

(BPT Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 1 – 2x ge 0\ {x^2} + 5 < {(1 – 2x)^2} end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x le 1/2\ 3{x^2} – 4x – 4 > 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x le 1/2\ x > 2begin{array}{*{20}{c}} {} end{array} vee begin{array}{*{20}{c}} {} end{array}x < – 2/3 end{array} right. Leftrightarrow x < – frac{2}{3})

4×0,25

1.2

(1đ)

·TH1: Với m = 1 thì BPT có dạng ( – 2x + 4 < 0 Leftrightarrow x > 2) â‡’ m = 1 không thỏa mãn ycbt

0,25

·TH2: Với m khác 1 thì ycbt ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l} m – 1 < 0\ {Delta ^/} = {m^2} – 2({m^2} – 1) < 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} m < 1\ – {m^2} + 2 < 0 end{array} right. Leftrightarrow m < – sqrt 2 )

3×0,25

2.1

(1đ)

 ÄK: (x ge – frac{1}{3}) ⇒ PT ( Leftrightarrow frac{{3x}}{{sqrt {3x + 1} + 1}}frac{{5x}}{{sqrt {5x + 4} + 2}} = xleft( {3x – 1} right) Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 0(TM)\ frac{3}{{sqrt {3x + 1} + 1}} + frac{5}{{sqrt {5x + 4} + 2}} = 3x – 1,,,(*) end{array} right.)

0,5

· Xét PT (*): Nếu x = 1: VT(*) = 2 = VP(*) nên x = 1 là một nghiệm của (*)

Nếu x > 1 thì VT(*) < 2 < VP(*); Nếu x < 1 thì VT(*) > 2 > VP(*)

Vậy (1) có 2 nghiệm x = 0; x = 1

0,5

2.2

(1đ)

Đặt (a = {x^2} – y;begin{array}{*{20}{c}} {} end{array}b = xy).

Hệ trở thành:

(left{ begin{array}{l} a + ab + b = 1\ {a^2} + b = 1 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {a^3} + {a^2} – 2a = 0\ b = 1 – {a^2} end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a = 0\ b = 1 end{array} right.begin{array}{*{20}{c}} {} end{array} vee begin{array}{*{20}{c}} {} end{array}left{ begin{array}{l} a = 1\ b = 0 end{array} right.begin{array}{*{20}{c}} {} end{array} vee begin{array}{*{20}{c}} {} end{array}left{ begin{array}{l} a = – 2\ b = – 3 end{array} right.)

0,5

·Với (left{ begin{array}{l} a = 0\ b = 1 end{array} right.) ta có hệ (left{ begin{array}{l} {x^2} – y = 0\ xy = 1 end{array} right. Leftrightarrow x = y = 1).

·Với (left{ begin{array}{l} a = 1\ b = 0 end{array} right.) ta có hệ (left{ begin{array}{l} {x^2} – y = 1\ xy = 0 end{array} right. Leftrightarrow (x;y) = (0; – 1);(1;0);( – 1;0)).

·Với (left{ begin{array}{l} a = – 2\ b = – 3 end{array} right.) ta có hệ (left{ begin{array}{l} {x^2} – y = – 2\ xy = – 3 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} y = – 3/x\ {x^3} + 2x + 3 = 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x = – 1\ y = 3 end{array} right.,,).

Kết luận: Hệ có 5 nghiệm .

0,5

—(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 5 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)—

Trên đây là một phần trích dẫn nội dung Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán 10 năm 2021 có đáp án Trường THPT TrÆ°ng VÆ°Æ¡ng. Để xem toàn bộ nội dung các em đăng nhập vào trang hoc247.net Ä‘ể tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh Ã´n tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm một số tư liệu cùng chuyên mục tại đây:

  • Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 10 – Trường THPT ChÆ°Æ¡ng Mỹ A

  • Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 10 – Trường THPT Nguyễn Huy Hiệu

  • Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 10 – Trường THPT TrÆ°ng VÆ°Æ¡ng

Chúc các em học tốt!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button