Lớp 10

Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 10 – Trường THPT Con Đuông

Với mong muốn có thêm tài liệu giúp các em học sinh ôn tập chuẩn bị trước kì thi HSG năm 2021 sắp tới HOC247 giới thiệu đến các em tài liệu Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 10 – Trường THPT Con Đuông có lời giải chi tiết, được HOC247 biên tập và tổng hợp để giúp các em tự luyện tập. Hi vọng tài liệu này sẽ có ích cho các em, chúc các em có kết quả học tập tốt!

TRƯỜNG THPT CON ĐUÔNG

ĐỀ THI HSG LỚP 10

MÔN TOÁN

Thời gian: 150 phút

 

1. ĐỀ SỐ 1

Câu 1. (5,0 điểm)  

Cho phương trình bậc hai ({x^2} – 5x + m = 0) (1) với x là ẩn số.     

a) Giải phương trình (1) khi m = 6.

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn ({x_1}sqrt {{x_2}} + {x_2}sqrt {{x_1}} = 6).

Câu 2. (3,0 điểm) 

Giải hệ phương trình: (left{ begin{array}{l} {x^2} + {x^3}y – x{y^2} + xy – y = 1{rm{ }}\ {x^4} + {y^2} – xy(2x – 1) = 1{rm{ }} end{array} right.)

Câu 3. (5,0 điểm)  

a) Cho góc (alpha) thỏa mãn (tan alpha = 2). Tính giá trị biểu thức (P = frac{{4sin alpha – cos alpha }}{{{{sin }^3}alpha + 2{{cos }^3}alpha }})

b) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các (overrightarrow {BD} = frac{2}{3}overrightarrow {BC} ;{rm{ }}overrightarrow {AE} = frac{1}{4}overrightarrow {AC} ). Điểm K trên đoạn thẳng AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. Tìm tỉ số (frac{{AD}}{{AK}}).

Câu 4. (5,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là trung điểm AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình CD: x – 3y + 1 = 0, (Eleft( {frac{{16}}{3};1} right))

a) Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giao của CD và BE.

b) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm.

Câu 5. (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b + c = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (P = frac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + frac{1}{{abc}}).

ĐÁP ÁN

Câu

Nội dung

Điểm

1.

Phương trình ({x^2} – 5x + m = 0)

5,0

a)

Giải phương trình (1) khi m = 6

1,5

 

Khi  PT (1) có dạng: ({x^2} – 5x + 6 = 0)

0,5

Ta có: ({Delta ‘} = 4 + 1 = 5 > 0)

0,5

 PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 2 và x2 = 3

0,5

b)

Tìm giá trị m thỏa mãn

3,5

 

 

 

Lập  ∆ = 25 – 4m

Phương trình có 2 nghiệm  khi ∆ ≥ 0 hay  m (le frac{{25}}{4})

0,5

Áp dụng hệ thức Viet, ta có ({x_1} + {x_2} = 5;{rm{ }}{x_1}{x_2} = m{rm{ }})

 Hai nghiệm ({x_1},{x_2}) dương khi (left{ begin{array}{l} {x_1} + {x_2} > 0\ {x_1}{x_2} > 0 end{array} right.) hay m > 0.

0,5

Điều kiện  để phương trình  có 2 nghiệm dương x1, x2 là 0 < m (le frac{{25}}{4}) (*)

0,5

Ta có: ({left( {sqrt {{x_1}} + sqrt {{x_2}} } right)^2} = {x_1} + {x_2} + 2sqrt {{x_1}.{x_2}} = 5 + 2sqrt m )

Suy ra (sqrt {{x_1}} + sqrt {{x_2}} = sqrt {5 + 2sqrt m } )

Ta có ({x_1}sqrt {{x_2}} + {x_2}sqrt {{x_1}} = 6 Leftrightarrow sqrt {{x_1}.{x_2}} left( {sqrt {{x_1}} + sqrt {{x_2}} } right) = 6)

 Hay (sqrt m sqrt {5 + 2sqrt m } = 6 Leftrightarrow 2msqrt m + 5m – 36 = 0) (1)

0,5

Đặt (t = sqrt m ge 0), khi đó (1) thành:

⇔ 2t3 + 5t2 – 36 = 0

⇔ (t – 2)(2t2 + 9t + 18) = 0

0,5

⇔ t – 2 = 0 hoặc 2t2 + 9t + 18 = 0

Với  t – 2 = 0 => t = 2 => m = 4 (thoả mãn (*)).

 Với 2t2 + 9t + 18 = 0 : phương trình vô nghiệm.

0,5

Vậy với m = 4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn ({x_1}sqrt {{x_2}} + {x_2}sqrt {{x_1}} = 6).

0,5

—(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 1 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)—

2. ĐỀ SỐ 2

Câu 1 (5,0 điểm).

a) Giải phương trình (frac{1}{{sqrt {2x + 1} – sqrt {3x} }} = frac{{sqrt {3x + 2} }}{{1 – x}})

b) Giải hệ phương trình (left{ begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + frac{{2xy}}{{x + y}} = 1\ sqrt {x + y} = {x^2} – y end{array} right.)

Câu 2 (4,0 điểm).

a) Tìm tập xác định của hàm số : (y = sqrt {sqrt {x – 2} + sqrt {x – 1} – sqrt {x + 3} } ).

b) Gọi ({x_1};,{x_2}) là hai nghiệm của phương trình ({x^2} – mx + m – 1 = 0)

Đặt (A = frac{{4{x_1}{x_2} + 6}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2(1 + {x_1}{x_2})}}). Với giá trị nào của m thì A đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 3 (3,0 điểm).

Cho hai số thực dương x, y thỏa x + y  =1.  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: (Q = frac{x}{{sqrt {1 – x} }} + frac{y}{{sqrt {1 – y} }})

Câu 4 (4,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có BC( = 4sqrt 2 ),các đường thẳng AB và AC lần lượt đi qua các điểm M(1; ( – frac{5}{3})) và N(0; (frac{{18}}{7})). Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đường cao AH có phương trình x + y – 2 = 0 và điểm B có hoành độ dương.

Câu 5 (4,0 điểm).

a) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện (frac{{sinA}}{{sinB.cosC}}) = 2 thì tam giác ABC là tam giác cân.

b) Cho tam giác . Gọi M là trung điểm cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA và I là trung điểm của đoạn MN. Chứng minh : (overrightarrow {BC} + overrightarrow {NM} = overrightarrow {BM} + overrightarrow {NC} ). Hãy biểu diễn vecto (overrightarrow {AI} ) theo hai vecto (overrightarrow {AB} ) và (overrightarrow {AC} ).

ĐÁP ÁN

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 1

5,0

a) Giải phương trình: (frac{1}{{sqrt {2x + 1} – sqrt {3x} }} = frac{{sqrt {3x + 2} }}{{1 – x}}) (1)

2,5

ĐK: x (ge) 0; x khác 1.

Khi đó: (1) ⇔ (frac{{sqrt {2x + 1} + sqrt {3x} }}{{1 – x}} = frac{{sqrt {3x + 2} }}{{1 – x}})

(begin{array}{l} Leftrightarrow sqrt {2x + 1} + sqrt {3x} = sqrt {3x + 2} \ Leftrightarrow 2sqrt {6{x^2} + 3x} = 1 – 2x\ Rightarrow x = frac{{ – 4 + sqrt {21} }}{{10}} end{array})

Vậy (1) có nghiệm: (x = frac{{ – 4 + sqrt {21} }}{{10}})

0,25

0.5

0.5

0.5

0.5

0.25

b) Giải hệ phương trình (left{ begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + frac{{2xy}}{{x + y}} = 1\ sqrt {x + y} = {x^2} – y end{array} right.)

2,5

Điều kiện: x > -y.

PT thư nhất tương đương:

(begin{array}{l} {left( {x + y} right)^2} – 1 + 2xyleft( {frac{1}{{x + y}} – 1} right) = 0\ Leftrightarrow left( {x + y – 1} right)left( {{x^2} + {y^2} + x + y} right) = 0\ Rightarrow x + y = 1 end{array})

Kết hợp với PT hai ta được (left{ begin{array}{l} x = 1\ y = 0 end{array} right. vee left{ begin{array}{l} x = – 2\ y = 3 end{array} right.)

Vậy, hệ đã cho có nghiệm (left{ begin{array}{l} x = 1\ y = 0 end{array} right. vee left{ begin{array}{l} x = – 2\ y = 3 end{array} right.)

0.25

0.5

0.5

0.5

0.5

0.25

Câu 2

Nội dung

Điểm

 

 

4,0

a) Tìm tập xác định của hàm số : (y = sqrt {sqrt {x – 2} + sqrt {x – 1} – sqrt {x + 3} } )

1.5

 

ĐK:

(begin{array}{l} left{ begin{array}{l} x – 2 ge 0\ x – 1 ge 0\ x + 3 ge 0\ sqrt {x – 2} + sqrt {x – 1} – sqrt {x + 3} ge 0 end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x ge 2\ 2sqrt {{x^2} – 3x + 2} ge 6 – x end{array} right.\ Leftrightarrow frac{{2sqrt {21} }}{3} le x le 6 end{array})

 

0.5

 

0.5

 

0.5

 

b) Gọi ({x_1};,{x_2}) là hai nghiệm của phương trình ({x^2} – mx + m – 1 = 0)

Đặt (A = frac{{4{x_1}{x_2} + 6}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2(1 + {x_1}{x_2})}}). Với giá trị nào của m thì A đạt giá trị nhỏ nhất.

2.5

 

+ PT có hai ngiệm khi (Delta ge 0 Leftrightarrow {m^2} – 4m + 4 ge 0,forall m)

({x_1} + {x_2} = m;,,,,,,,{x_1}{x_2} = m – 1)

(begin{array}{l} A = frac{{4{x_1}{x_2} + 6}}{{{{({x_1} + {x_2})}^2} + 2}}\ = frac{{4m + 2}}{{{m^2} + 2}}\ = frac{{{{(m + 2)}^2}}}{{{m^2} + 2}} – 1 ge – 1 end{array})

A nhỏ nhất khi m = -2

0.25

0.25

0.5

0.5

0.5

0.5

 

—(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 2 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)—

3. ĐỀ SỐ 3

Câu 1 (5.0 điểm). Cho phương trình: (left( {m + 3} right){x^2} – 2left( {m + 1} right)x + m = 0)

 1. Tìm m để phương trình có nghiệm

 2. Khi phương trình có hai nghiệm ({x_1};{x_2}), tìm a để biểu thức (F = left( {{x_1} – a} right)left( {{x_2} – a} right)) không phụ thuộc vào m.                          

Câu 2 (8.0 điểm). Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau:

1. (frac{{{x^2} – 2x + 13}}{{sqrt {4 – x} }} = 4sqrt {x + 2} )

2. (frac{{sqrt {2left( {{x^2} – 1} right)} }}{{sqrt {x – 2} }} + sqrt {x – 2} le frac{5}{{sqrt {x – 2} }})

3. (left{ begin{array}{l} frac{1}{{sqrt {x + 2} }} + frac{1}{{sqrt {y – 1} }} = frac{2}{{sqrt {x + y} }}\ {x^2} + {y^2} + 4xy – 4x + 2y – 5 = 0 end{array} right.)

Câu 3 (2.0 điểm). Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi S là diện tích tam giác ABC, chứng minh rằng : (S = frac{{{c^2}}}{{2left( {cot A + cot B} right)}})

Câu 4 (2.0 điểm). Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, E trên các đoạn AB, BC, CA sao cho (AM = frac{1}{3}AB,{rm{ }}BN = frac{1}{3}BC,{rm{ }}CE = frac{1}{3}CA). Chứng minh rằng: (overrightarrow {AN} + overrightarrow {BE} + overrightarrow {CM} = overrightarrow 0 )

Câu 5 (2.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm (Aleft( {frac{3}{2};3} right){rm{ }};{rm{ }}Bleft( {6;0} right)). Viết phương trình đường thẳng AB. Tìm tọa độ các điểm M trên đoạn OA; N trên đoạn AB; E, F trên đoạn OB sao cho tứ giác MNEF là hình vuông.

Câu 6 (1.0 điểm). Biết a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: (frac{{{a^3}}}{{bleft( {c + 1} right)}} + frac{{{b^3}}}{{cleft( {a + 1} right)}} + frac{{{c^3}}}{{aleft( {b + 1} right)}} ge frac{3}{2})

ĐÁP ÁN

Câu

Đáp án

Điểm

1

(5đ)

Cho phương trình: (left( {m + 3} right){x^2} – 2left( {m + 1} right)x + m = 0)

 

1. Tìm m để phương trình có nghiệm

3.0

TH1. Nếu (m + 3 = 0 Leftrightarrow m = – 3), pt trở thành: (4x – 3 = 0 Leftrightarrow x = frac{3}{4}) là nghiệm

⇒ m = -3 thỏa mãn.

1.0

TH2. Nếu (m + 3 ne 0 Leftrightarrow m ne – 3)

Ta có ({Delta ‘} = {left( {m + 1} right)^2} – mleft( {m + 3} right) = 1 – m)

1.0

Pt đã cho có nghiệm ( Leftrightarrow {Delta ‘} ge 0 Leftrightarrow 1 – m ge 0 Leftrightarrow m le 1)

Kết hợp 2 TH trên ta được m cần tìm là (m le 1)

1.0

2. Khi phương trình có hai nghiệm ({x_1};{x_2}), tìm a để biểu thức (F = left( {{x_1} – a} right)left( {{x_2} – a} right)) không phụ thuộc vào m.

2.0

Với (left{ begin{array}{l} m ne – 3\ m le 1 end{array} right.) phương trình có hai nghiệm ({x_1};{x_2}), khi đó theo định lí vi-et ta có:  

(left{ begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = frac{{2(m + 1)}}{{m + 3}}\ {x_1}{x_2} = frac{m}{{m + 3}} end{array} right.)

Ta có:

(F = left( {{x_1} – a} right)left( {{x_2} – a} right) = {x_1}{x_2} – a({x_1} + {x_2}) + {a^2})

(frac{m}{{m + 3}} – frac{{2a(m + 1)}}{{m + 3}} + {a^2})

1.0 

—(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 3 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)—

4. ĐỀ SỐ 4

Câu 1 (5.0 điểm). Cho hàm số (y = {x^2} – 2left( {m + 1} right)x + 4)

 1. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ ({x_1};{x_2}) thỏa mãn (sqrt {{x_1}} + sqrt {{x_2}} = 4).

 2. Tìm m để y < 0 với mọi (x in left( {1;2} right)).

Câu 2 (8.0 điểm). Giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình sau:

 1. (left( {x + 5} right)left( {2 – x} right) = 3.sqrt {{x^2} + 3x} )

 2. (frac{{2(x – 1)}}{{sqrt {x – 2} }} + sqrt {x – 2} > 7)

 3. (left{ begin{array}{l} {x^2}left( {{y^2} + 1} right) + 2yleft( {{x^2} + x + 1} right) = 3\ left( {{x^2} + x} right)left( {{y^2} + y} right) = 1 end{array} right.)

Câu 3 (2.0 điểm). Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu : (sin A = frac{{sin B + 2sin C}}{{2cos B + c{rm{os}}C}})

Câu 4 (2.0 điểm). Cho tứ giác MNPQ gọi A, B, C, D lần lượt là trung điểm của MN, NP, PQ, QM. Chứng minh rằng: (overrightarrow {MB} + overrightarrow {NC} + overrightarrow {PD} + overrightarrow {QA} = overrightarrow 0 )

Câu 5 (2.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(3; 0) đường thẳng chứa đường cao từ B và đường trung tuyến từ C lần lượt có phương trình x + y + 1 = 0 ; 2x – y – 2 = 0. Tìm tọa độ đỉnh B và C của tam giác ABC.

Câu 6 (1.0 điểm). Biết a, b, c là ba số thực dương, thỏa mãn (4left( {a + b + c} right) = 3abc) chứng minh rằng: (frac{1}{{{a^3}}} + frac{1}{{{b^3}}} + frac{1}{{{c^3}}} ge frac{3}{8}).

ĐÁP ÁN

Câu

Đáp án

Điểm

1

(5đ)

Cho hàm số (y = {x^2} – 2left( {m + 1} right)x + 4)

 

1. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ ({x_1};{x_2}) thỏa mãn (sqrt {{x_1}} + sqrt {{x_2}} = 4).

3.0

Xét phương trình: ({x^2} – 2left( {m + 1} right)x + 4 = 0{rm{ (*)}})

Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ ({x_1};{x_2}) thỏa mãn (sqrt {{x_1}} + sqrt {{x_2}} = 4) trước hết pt (*) có hai nghiệm phân biệt ({x_1};{x_2}) thỏa mãn ({x_1};{x_2} ge) 0  

( Leftrightarrow left{ begin{array}{l} Delta ‘ > 0\ s ge 0\ p ge 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {left( {m + 1} right)^2} – 4 ge 0\ 2left( {m + 1} right) ge 0\ 4 ge 0 end{array} right.)

1.0

⇔ (left{ begin{array}{l} left[ begin{array}{l} m ge 1\ m le – 3 end{array} right.\ m > – 1 end{array} right. Leftrightarrow m ge 1); theo định lí viet ta có: (left{ begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2(m + 1)\ {x_1}.{x_2} = 4 end{array} right.)

1.0

(sqrt {{x_1}} + sqrt {{x_2}} = 4 Leftrightarrow {x_1} + {x_2} + 2sqrt {{x_1}.{x_2}} = 16 Leftrightarrow 2(m + 1) + 4 = 16 Leftrightarrow m = 5) (TM)

1.0

2. Tìm m để y < 0 với mọi (x in left( {1;2} right)).

2.0

Để y < 0 với mọi (x in left( {1;2} right)) ⇔ đồ thị hàm số nằm dưới trục hoành với mọi (x in left( {1;2} right)) ⇔ (left{ begin{array}{l} Delta ‘ > 0\ y(1) < 0\ y(2) < 0 end{array} right.)

1.0 

(left{ begin{array}{l} left[ begin{array}{l} m > 1\ m < – 3 end{array} right.\ 3 – 2m < 0\ 4 – 4m < 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} left[ begin{array}{l} m > 1\ m < – 3 end{array} right.\ m > frac{3}{2}\ m > 1 end{array} right. Leftrightarrow m > frac{3}{2})

1.0

—(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 4 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)—

5. ĐỀ SỐ 5

Câu 1 (5,0 điểm).

a) Giải bất phương trình (frac{{2x – 1}}{{sqrt {4x + 1} }} + sqrt {x – 1} < sqrt {3x – 2} ).

b) Giải hệ phương trình (left{ begin{array}{l} {x^3} – 2frac{{{x^2}}}{y} + 2frac{x}{{{y^2}}} = frac{1}{{{y^3}}}\ {x^2} + frac{1}{{{y^2}}} – x + frac{1}{y} = 2 end{array} right.)

Câu 2 (4,0 điểm).

a) Tìm tập xác định của hàm số : (y = sqrt {x – 2sqrt {x – 1} } ).

b) Tìm m để đường thẳng d: y = x – 1 cắt parabol (P): (y = {x^2} + mx + 1) tại hai điểm P ,Q mà đoạn PQ = 3.

Câu 3 (3,0 điểm).

Cho hai số thực dương x, y thỏa x + y  =1.  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: (Q = frac{x}{{sqrt {1 – x} }} + frac{y}{{sqrt {1 – y} }})

Câu 4 (4,0 điểm).

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có BC ( = 4sqrt 2 ),các đường thẳng AB và AC lần lượt đi qua các điểm M(1; -5/3) và N(0; 18/7). Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đường cao AH có phương trình x+y – 2=0 và điểm B có hoành độ dương.

Câu 5 (4,0 điểm).

a) Cho tam giác ABC có BC=a, AB=c , AC = b.Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu: (frac{{1 + cos B}}{{sin B}} = frac{{2a + c}}{{sqrt {4{a^2} – {c^2}} }})

b) Cho hình vuông ABCD cạnh a . M là điểm trên cạnh AB. Chứng minh rằng : (mathop {DM}limits^{} .mathop {DC}limits^{} + mathop {CM}limits^{} .mathop {CD}limits^{} ) không đổi khi M di động trên cạnh AB.

ĐÁP ÁN

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 1

5,0

a) Giải bất phương trình: (frac{{2x – 1}}{{sqrt {4x + 1} }} + sqrt {x – 1} < sqrt {3x – 2} ) (1)

2,5

ĐK: x (ge) 1 (*).

Khi đó:   (1) ⇔ (frac{{2x – 1}}{{sqrt {4x + 1} }} < sqrt {3x – 2} – sqrt {x – 1} )

⇔ (frac{{2x – 1}}{{sqrt {4x + 1} }} < frac{{2x – 1}}{{sqrt {3x – 2} + sqrt {x – 1} }})

⇔ (sqrt {3x – 2} + sqrt {x – 1} < sqrt {4x + 1} ) (do (x ge 1))

⇔ (sqrt {(3x – 2)(x – 1)} < 2)

⇔ (3{x^2} – 5x – 2 < 0)

( Leftrightarrow – frac{1}{3} < x < 2)

Kết hợp với điều kiện (*), ta có nghiệm của bất phương trình là (1 le x < 2)

Vậy (1) có  nghiệm: (1 le x < 2)

0,25

 

0,25

0,5

 

0,5

0,25

0,25

0.25

0.25

b) Giải hệ phương trình (left{ begin{array}{l} {x^3} – 2frac{{{x^2}}}{y} + 2frac{x}{{{y^2}}} = frac{1}{{{y^3}}}\ {x^2} + frac{1}{{{y^2}}} – x + frac{1}{y} = 2 end{array} right.)

2,5

Điều kiện: y khác 0.

(left{ begin{array}{l} {x^3} – 2frac{{{x^2}}}{y} + 2frac{x}{{{y^2}}} = frac{1}{{{y^3}}}\ {x^2} + frac{1}{{{y^2}}} – x + frac{1}{y} = 2 end{array} right.)

( Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {x^3} – frac{1}{{{y^3}}} – 2frac{x}{y}(x – frac{1}{y}) = 0\ {(x – frac{1}{y})^2} + 2frac{x}{y} – (x – frac{1}{y}) = 2 end{array} right.) (I)

( Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {(x – frac{1}{y})^3} + frac{x}{y}(x – frac{1}{y}) = 0\ {(x – frac{1}{y})^2} + 2frac{x}{y} – (x – frac{1}{y}) = 2 end{array} right.)

Đặt (u = x – frac{1}{y},v = frac{x}{y}), hệ phương trình trở thành: (left{ begin{array}{l} {u^3} + uv = 0\ {u^2} + 2v – u = 2 end{array} right.)

 

(begin{array}{l} Leftrightarrow left{ begin{array}{l} u({u^2} + v) = 0\ {u^2} + 2v – u = 2 end{array} right.\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} left{ begin{array}{l} u = 0\ {u^2} + 2v – u = 2 end{array} right.\ left{ begin{array}{l} v = – {u^2}\ {u^2} + 2v – u = 2 end{array} right. end{array} right.\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} left{ begin{array}{l} u = 0\ v = 1 end{array} right.\ left{ begin{array}{l} v = – {u^2}\ {u^2} – 2{u^2} – u = 2 end{array} right. end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} u = 0\ v = 1 end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x – frac{1}{y} = 0\ frac{x}{y} = 1 end{array} right.\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} left{ begin{array}{l} x = – 1\ y = – 1 end{array} right.\ left{ begin{array}{l} x = 1\ y = 1 end{array} right. end{array} right. end{array})

Vậy, hệ đã cho có nghiệm (x,y) là : (-1 ;-1) ; (1 ;1)

0.25

0,25

 

0,25

 

 

0,25

 

 

0,25

 

0,25

 

 

0,25

 

 

0,25

 

0,25

 

0.25

—(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 5 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)—

Trên đây là một phần trích dẫn nội dung Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán 10 năm 2021 có đáp án Trường THPT Nguyễn Huy Hiệu. Để xem toàn bộ nội dung các em đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm một số tư liệu cùng chuyên mục tại đây:

  • Bộ 5 đề thi thử chọn HSG môn Toán lớp 10 – Trường THPT Chương Mỹ A

  • Bộ 5 đề thi thử chọn HSG môn Toán lớp 10 – Trường THPT Trưng Vương

  • Bộ 5 đề thi thử chọn HSG môn Toán lớp 10 – Trường THPT Nguyễn Huy Hiệu

Chúc các em học tốt!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button