Lớp 10

Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 10 – Trường THPT Nguyễn Huy Hiệu

HOC247 xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh Bộ 5 đề thi chọn HSG năm 2021 môn Toán lớp 10 được biên soạn và tổng hợp từ đề thi của Trường THPT Nguyễn Huy Hiệu, đề thi gồm có các bài tập tự luận với đáp án đi kèm sẽ giúp các em luyện tập, làm quen các dạng đề đồng thời đối chiếu kết quả, đánh giá năng lực bản thân từ đó có kế hoạch học tập phù hợp. Mời các em cùng tham khảo!

TRƯỜNG THPT NGUYỄN DUY HIỆU

ĐỀ THI HSG LỚP 10

MÔN TOÁN

Thời gian: 150 phút

 

1. ĐỀ SỐ 1

Câu 1 (3 điểm)

a) Cho parabol (P): (y = – {x^2} + 4x + 5) và điểm I(1;4). Tìm trên (P) hai điểm M, N đối xứng nhau qua điểm I.

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (left| {{x^2} – 2} right| = {m^4} – {m^2}) có 4 nghiệm phân biệt.

Câu 2 (5 điểm)

a) Giải bất phương trình: ((x + 1)sqrt {x + 2} + (x + 6)sqrt {x + 7} ge {x^2} + 7x + 12)

b) Giải hệ phương trình: (left{ begin{array}{l} (x – 1)({y^2} + 6) = y({x^2} + 1)\ (y – 1)({x^2} + 6) = x({y^2} + 1) end{array} right.)

c) Tìm m để phương trình (3sqrt {x – 1} + msqrt {x + 1} = 2sqrt[4]{{{x^2} – 1}}) có nghiệm.

Câu 3 (2 điểm) Cho (f(x) = {x^2} – 2(m + 1)x + {m^2} – 3). Tìm m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt ({x_1},{x_2}) thỏa mãn (x_1^3 + {x_1}x_2^2 – 4{x_1} = x_2^3 + {x_2}x_1^2 – 4{x_2}).

Câu 4 (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;1) và B(4;-3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng x – 2y – 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.

Câu 5 (5 điểm)

a) Cho tam giác ABC có trọng tâm là G. Hai điểm D và E được xác định bởi các hệ thức: (overrightarrow {AD} = 2overrightarrow {AB} ;{rm{ }}overrightarrow {AE} = frac{2}{5}overrightarrow {AC} ). Chứng minh rằng: D, E, G thẳng hàng

b) Gọi H là trực tâm tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng (overrightarrow {MH} .overrightarrow {MA} = frac{1}{4}B{C^2})

c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD, điểm M(-2;0) là trung điểm của cạnh AB, điểm H(1;-1) là hình chiếu của B trên AD và điểm (Gleft( {frac{7}{3};3} right)) là trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng HM cắt BC tại E, đường thẳng HG cắt BC tại F. Tìm tọa độ các điểm E, F và B

Câu 6 (1,5 điểm) Cho x, y là các số thực thỏa mãn ({x^2} + {y^2} = 1). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức (S = frac{{{{(x – y)}^2} – 3{y^2}}}{{xy + 1}}).

Câu 7 (1,5 điểm) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm (left{ begin{array}{l} sqrt x + sqrt y = 3\ sqrt {x + 5} + sqrt {y + 3} le m end{array} right.)

ĐÁP ÁN

Câu

Ý

Nội dung

Điểm

1

a

Cho parabol (P): (y = – {x^2} + 4x + 5) và điểm I(1;4). Tìm trên (P) hai điểm M, N đối xứng

nhau qua điểm I

1,50

 

 

Vì I không thuộc trục đối xứng của (P) nên hai điiểm M,N thỏa đề bài thuộc đường thẳng (Delta) qua I và có hsg k có phương trình y = k(x – 1) + 4

Xét pt ( – {x^2} + 4x + 5 = k(x – 1) + 4 Leftrightarrow {x^2} + (k – 4)x – k – 1 = 0) (1)

0,25

 

0.25

(Delta = {(k – 4)^2} + 4(k + 1) > 0 Leftrightarrow {k^2} – 4k + 20 > 0,forall k Rightarrow Delta ) cắt (P) tại M và N

Gọi 2 nghiệm của (1) là ({x_1},{x_2} Rightarrow M({x_1};k({x_1} – 1) + 4),N({x_2};k({x_2} – 1) + 4))

0,25

0,25

M, N đối xứng nhau qua điểm I ⇔ I là trung điểm của MN

( Leftrightarrow left{ begin{array}{l} frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = 1\ frac{{k({x_1} – 1) + 4 + k({x_2} – 1) + 4}}{2} = 4 end{array} right. Leftrightarrow frac{{4 – k}}{2} = 1 Leftrightarrow k = 2)

0,25

Khi đó (1) ({x^2} – 2x – 3 = 0 Leftrightarrow x = – 1) hoặc x = 3. Vậy (M( – 1;0),N(3;8))

0,25

1

b

Tìm m để phương trình (left| {{x^2} – 2} right| = {m^4} – {m^2}) có 4 nghiệm phân biệt

1,50

 

 

Điều kiện cần ({m^4} – {m^2} > 0 Leftrightarrow m > 1) hoặc m <  – 1 (1)

0,5

Khi đó (left[ begin{array}{l} {x^2} – 2 = {m^4} – {m^2}\ {x^2} – 2 = – ({m^4} – {m^2}) end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l} {x^2} = 2 + {m^4} – {m^2}\ {x^2} = 2 – ({m^4} – {m^2}) end{array} right.)

0,25

0,25

Điều kiện đủ (2 – ({m^4} – {m^2}) > 0 Leftrightarrow – 1 < {m^2} < 2)

0,25

Kết hợp với ĐK (1) ta được (1 < m < sqrt 2 ) hoặc ( – sqrt 2 < m < – 1)

0,25

Cách khác. Pt có 4 nghiệm ⇔ đường thẳng (y = {m^4} – {m^2}) cắt đths (y = left| {{x^2} – 2} right|) tại 4 điểm. Từ đồ thị suy ra (0 < {m^4} – {m^2} < 2 Leftrightarrow 1 < |m| < sqrt 2 )

 

—(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 1 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)—

2. ĐỀ SỐ 2

Câu I (2,0 điểm) 

1) Cho hàm số (y = {x^{rm{2}}} – 4x + 3) có đồ thị (P). Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng (({d_m}):y = x + m) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ ({x_1},{x_2}) thỏa mãn (frac{1}{{{x_1}}} + frac{1}{{{x_2}}} = 2).

2) Cho hàm số (y = (m – 1){x^{rm{2}}} – 2mx + m + 2) (m là tham số). Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (( – infty ;2)).

Câu II (3,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình (left{ begin{array}{l} left( {x – y} right)left( {{x^2} + xy + {y^2} + 3} right) = 3left( {{x^2} + {y^2}} right) + 2\ {x^2}y + {x^2} – 2x – 12 = 0 end{array} right.,,)

2) Giải  phương trình ((x – 3)sqrt {1 + x} – xsqrt {4 – x} = 2{x^2} – 6x – 3).

3) Giải bất phương trình ({x^3} + (3{x^2} – 4x – 4)sqrt {x + 1} le 0).

Câu III (3,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm N thỏa mãn (overrightarrow {NB{kern 1pt} {kern 1pt} } – 3overrightarrow {NC{kern 1pt} {kern 1pt} } = overrightarrow {0{kern 1pt} {kern 1pt} } ). Gọi P là giao điểm của AC và GN, tính tỉ số (frac{{PA}}{{PC}}).

2) Cho tam giác nhọn ABC, gọi H, E, K lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C. Gọi diện tích các tam giác ABC và HEK lần lượt là ({S_{Delta ABC}}) và  ({S_{Delta HEK}}). Biết rằng ({S_{Delta ABC}} = 4,{S_{Delta HEK}}), chứng minh ({sin ^2}A + {sin ^2}B + {sin ^2}C = frac{9}{4}).

3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho (Delta ABC) cân tại A. Đường thẳng AB có phương trình x + y – 3 = 0, đường thẳng AC có phương trình x – 7y + 5 = 0. Biết điểm M(1;10) thuộc cạnh BC, tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. 

Câu IV (1,0 điểm)

Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một máy chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và máy làm việc trong 1,5 giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120 giờ. Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất?

Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + xz = 3.

Chứng minh bất đẳng thức (frac{{{x^2}}}{{sqrt {{x^3} + 8} }} + frac{{{y^2}}}{{sqrt {{y^3} + 8} }} + frac{{{z^2}}}{{sqrt {{z^3} + 8} }} ge 1).

ĐÁP ÁN

Câu

Nội dung

Điểm

Câu I.1

1,0đ

Cho hàm số (y = {x^{rm{2}}} – 4x + 3) có đồ thị (P). Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng (({d_m}):y = x + m) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ ({x_1},{x_2}) thỏa mãn (frac{1}{{{x_1}}} + frac{1}{{{x_2}}} = 2).

 

 

Phương trình hoành độ giao điểm ({x^{rm{2}}} – 4x + 3 = x + m Leftrightarrow {x^2} – 5x + 3 – m = 0) (1)

0,25

Đường thẳng (dm) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt  khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ( Leftrightarrow Delta > 0 Leftrightarrow 13 + 4m > 0 Leftrightarrow m > – frac{{13}}{4}).

 

0,25

 Ta có (left{ begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 5\ {x_1}{x_2} = 3 – m end{array} right.)

0,25

(frac{1}{{{x_1}}} + frac{1}{{{x_2}}} = 2 Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2{x_1}{x_2}\ {x_1}{x_2} ne 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 5 = 2(3 – m)\ m ne 3 end{array} right. Leftrightarrow m = frac{1}{2}) (thỏa mãn)

0,25

Câu I.2

1,0 đ

 Cho hàm số (y = (m – 1){x^{rm{2}}} – 2mx + m + 2), (m là tham số). Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (( – infty ;2)).

 

 

Với (m = 1 Rightarrow y = – 2x + 3). Hàm số nghịch biến trên R. Do đó m = 1 thỏa mãn.

 

0,25

Với (m ne 1). Hàm số nghịch biến trên khoảng (( – infty ;2)) khi và chỉ khi (left{ begin{array}{l} m – 1 > 0\ frac{m}{{m – 1}} ge 2 end{array} right.)

0,25

( Leftrightarrow 1 < m le 2).

0,25

Vậy (1 le m le 2)

0,25

CâuII.1

1,0 đ

Giải hệ phương trình (left{ begin{array}{l} left( {x – y} right)left( {{x^2} + xy + {y^2} + 3} right) = 3left( {{x^2} + {y^2}} right) + 2,,,,left( 1 right)\ {x^2}y + {x^2} – 2x – 12 = 0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 2 right) end{array} right.,,)

 

 

(begin{array}{l} left( {x – y} right)left( {{x^2} + xy + {y^2} + 3} right) = 3left( {{x^2} + {y^2}} right) + 2\ Leftrightarrow left( {x – y} right)left( {{x^2} + xy + {y^2}} right) + 3(x – y) = 3({x^2} + {y^2}) + 2\ Leftrightarrow {x^3} – {y^3} + 3(x – y) = 3{x^2} + 3{y^2} + 2 end{array})

0,25

(begin{array}{l} Leftrightarrow {x^3} – 3{x^2} + 3x – 1 = {y^3} + 3{y^2} + 3y + 1\ Leftrightarrow {(x – 1)^3} = {(y + 1)^3} Leftrightarrow x – 1 = y + 1 Leftrightarrow y = x – 2 end{array})

0,25

Thế y = x – 2 vào phương trình (2) ta có

({x^2}(x – 2) + {x^2} – 2x – 12 = 0 Leftrightarrow {x^3} – {x^2} – 2x – 12 = 0)

0,25

( Leftrightarrow (x – 3)({x^2} + 2x + 4) = 0 Leftrightarrow x = 3 Rightarrow y = 1). Hệ có nghiệm (left{ begin{array}{l} x = 3\ y = 1 end{array} right.)

0,25

—(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 2 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)—

3. ĐỀ SỐ 3

Câu 1 (5,0 điểm).

a) Giải phương trình (sqrt {{x^2} + 12} + 5 = 3x + sqrt {{x^2} + 5} ).

b) Giải hệ phương trình (left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x^3} + 9x{y^2} – 6{x^2}y – 4{y^3} = 0}\ {sqrt {x + y} + sqrt {x – y} = 2.,,,,,,,,,,,,,} end{array}} right.)

Câu 2 (3,0 điểm).

a) Tìm tập xác định của hàm số : (y = sqrt {frac{{{x^2} – 5x + 2017}}{{{x^3} – 9{x^2} + 11x + 21}}} ).

b) Giả sử phương trình bậc hai ẩn x (m là tham số): ({x^2} – 2left( {m – 1} right)x – {m^3} + {left( {m + 1} right)^2} = 0) có hai nghiệm ({x_1},,,,{x_2}) thỏa mãn điều kiện ({x_1} + {x_2} le 4). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: (P = x_1^3 + x_2^3 + {x_1}{x_2}left( {3{x_1} + 3{x_2} + 8} right)).

Câu 3 (3,0 điểm).

Cho ba số thực dương x, y, z  thỏa x . y. z = 1.  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: (P = frac{{sqrt {1 + {x^3} + {y^3}} }}{{xy}} + frac{{sqrt {1 + {z^3} + {y^3}} }}{{yz}} + frac{{sqrt {1 + {z^3} + {x^3}} }}{{xz}}.)

Câu 4 (2,0 điểm).

Trong mặt phẳng tọa độ cho một ngũ giác lồi có các đỉnh là những điểm có tọa độ nguyên. Chứng minh rằng bên trong hoặc trên cạnh ngũ giác có ít nhất một điểm có tọa độ nguyên.

Câu 5 (4,0 điểm).

a) Cho tam giác đều ABC. Lấy các điểm M, N thỏa mãn (overrightarrow {AN} = frac{1}{3}overrightarrow {AB} ;;overrightarrow {BM} = frac{1}{3}overrightarrow {BC} .;) Gọi I là giao điểm của AM và CN . Chứng minh  BI (bot) IC.

b) Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm C cố định thuộc đoạn AB (C khác A, B).Lấy điểm M trên nửa đường tròn. Đường thẳng qua M vuông góc với MC lần lượt cắt tiếp tuyến qua A và B của nửa đường tròn tại E và F. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác CEF khi M di chuyển trên nửa đường tròn.

Câu 6 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng là d1: (sqrt 3 x + y = 0) và d2: (sqrt 3 x – y = 0). Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của đường tròn (C) biết tam giác ABC có diện tích bằng (frac{{sqrt 3 }}{2}) và điểm A có hoành độ dương.

—(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 3 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)—

 

4. ĐỀ SỐ 4

Câu 1. (5,0 điểm).

a.(3đ). Giải bất phương trình (sqrt {{x^2} – 2{rm{x}}} + sqrt {{x^2} + 3{rm{x}}} ge 2{rm{x}})

b.(2đ). Giải hệ phương trình (left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x^3} – 6{{rm{x}}^2}y + 9x{y^2} – 4{y^3} = 0,,(1)}\ {sqrt {x – y} + sqrt {x + y} = 2,,,,,(2)} end{array}} right.)

Câu 2. (3,0 điểm).

a. (2đ). Cho parabol (P) : y = 3x2 – x – 4. Gọi A,B là giao điểm của (P) với Ox.  Tìm m < 0 sao cho đường thẳng d: y = m cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N mà  bốn điểm A, B, M, N tạo thành tứ giác có diện tích bằng 4.

b. (1đ) Cho (,,sin {rm{a}}.sin b = 5cos a.cos b.,,)

Tính (,,S = frac{1}{{{{sin }^2}a – 5{{cos }^2}a}} + frac{1}{{{{sin }^2}b – 5{{cos }^2}b}})

Câu 3. (3,0 điểm).

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a + b + c  = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (T = frac{a}{{sqrt {1 – a} }} + frac{b}{{sqrt {1 – b} }} + frac{c}{{sqrt {1 – c} }})

Câu 4. (2,0 điểm).

Trong mặt phẳng lấy 2n + 3 điểm ((n in N)) sao cho trong ba điểm bất kì luôn có hai điểm mà khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1 chứa ít nhất n + 2 điểm nêu trên.

Câu 5 .(3,0 điểm).

Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng với mọi điểm M thì (a.M{A^2} + b.M{B^2} + c.M{C^2} ge abc)

Câu 6. (4,0 điểm).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC. D là trung điểm AB, E ((frac{{16}}{3};1)) nằm trên cạnh AC mà AC = 3EC. Đường thẳng DC có phương trình x – 3y + 1 = 0. Tìm tọa độ A, B, C.

—(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 4 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)—

5. ĐỀ SỐ 5

Câu 1: (5,0 điểm)

a. Giải bất phương trình: (2x + 5 > sqrt {2 – x} left( {sqrt {x – 1} + sqrt {3x + 4} } right))

b. Giải hệ phương trình: (left{ begin{array}{l} 2sqrt {{x^2} – 5} = 2sqrt {2y} + {x^2}\ x + 3sqrt {xy + x – {y^2} – y} = 5y + 4 end{array} right.)

Câu 2: (4,0 điểm)

a. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: (y = f(x) = xleft| {x – 2} right| + 1).

b. Tìm các giá trị của tham số m sao cho hàm số (y = f(x) = {x^2} + (2m + 1)x + {m^2} – 1) có giá trị bé nhất trên đoạn [0;1] bằng 1.

Câu 3: (4,0 điểm)

a. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: (frac{{{a^3}}}{b} + frac{{{b^3}}}{c} + frac{{{c^3}}}{a} ge ab + bc + ca)

b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: (P = frac{{yzsqrt {x – 1} + z{rm{x}}sqrt {y – 4} + xysqrt {z – 9} }}{{xyz}})

Câu 4: (4,0 điểm)

Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm H(3; 0) và trung điểm của BC là I(6;1). Đường thẳng AH có phương trình x + 2y – 3 = 0. Gọi D , E lần lượt là chân đường cao kẻ từ điểm B và C của tam giác ABC. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết phương trình DE là x – 2 = 0 và điểm D có hoành độ dương.

Câu 5: (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB.Chứng minh rằng diện tích của một trong ba tam giác AB’C’, BA’C’, CA’C’ không thể vượt qua một phần tư diện tích tam giác ABC. Với điều kiện nào các tam giác này có diện tích bằng nhau và bằng một phần tư diện tích tam giác ABC.

—(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 5 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)—

Trên đây là một phần trích dẫn nội dung Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán 10 năm 2021 có đáp án Trường THPT Nguyễn Huy Hiệu. Để xem toàn bộ nội dung các em đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm một số tư liệu cùng chuyên mục tại đây:

  • Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 10 – Trường THPT Chương Mỹ A

  • Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 10 – Trường THPT Trưng Vương

Chúc các em học tốt!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button