Lớp 8

Chuyên đề Luỹ thừa bậc n của một nhị thức Toán 8

Để giúp các em học sinh có thêm nhiều tài liệu ôn luyện kiến thức và kĩ năng giải bài tập, HOC247 xin gửi đến Chuyên đề Luỹ thừa bậc n của một nhị thức Toán 8. Mời các em cùng tham khảo

Chuyên đề

LUỸ THỪA BẬC N CỦA MỘT NHỊ THỨC

1. Mục tiêu

Nắm được công thức khai triển luỹ thừa bậc n của một nhị thức: (a + b)n

Vận dụng kiến thức vào các bài tập về xác định hệ số của luỹ thừa bậc n của một nhị thức, vận dụng vào các bài toán phân tích đa thức  thành nhân tử

2. Nhị thức Niutơn

(a + b)n  = an + an – 1 b + an – 2 b2 + …+  ab n – 1 + bn

Trong đó:  ({rm{C}}_{{rm{ n}}}^{{rm{ k}}} = frac{{{rm{n(n  –  1)(n  –  2)}}…{rm{[n  –  (k  –  1)]}}}}{{{rm{1}}{rm{.2}}{rm{.3}}…{rm{k}}}})  

3. Cách xác định hệ số của khai triển Niutơn

a) Cách 1: Dùng công thức ({rm{C}}_{{rm{ n}}}^{{rm{ k}}} = frac{{{rm{n(n  –  1)(n  –  2)}}…{rm{[n  –  (k  –  1)]}}}}{{{rm{k !}}}}) 

Chẳng hạn hệ số của hạng tử  a4b3 trong khai triển của (a + b)7 là ({rm{C }}_{rm{7}}^4 = frac{{7.6.5.4}}{{4!}} = frac{{7.6.5.4}}{{4.3.2.1}} = 35) 

Chú ý:  a) ({rm{C }}_{rm{n}}^{{rm{k }}} = frac{{{rm{n !}}}}{{{rm{n}}!({rm{n  –  k) !}}}}) với quy ước  0! = 1 => ({rm{C }}_{rm{7}}^4 = frac{{7!}}{{4!.3!}} = frac{{7.6.5.4.3.2.1}}{{4.3.2.1.3.2.1}} = 35) 

b) Ta có: ({rm{C }}_{rm{n}}^{{rm{k }}} = {rm{C }}_{rm{n}}^{{rm{k  –  1 }}}) nên  ({rm{C }}_{rm{7}}^4 = {rm{C }}_{rm{7}}^3 = frac{{7.6.5.}}{{3!}} = 35) 

b) Cách 2: Dùng tam giác Patxcan

Đỉnh

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Dòng 1(n = 1)

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

Dòng 2(n = 1)

 

 

 

 

1

 

2

 

1

 

 

 

 

Dòng 3(n = 3)

 

 

 

1

 

3

 

3

 

1

 

 

 

Dòng 4(n = 4)

 

 

1

 

4

 

6

 

4

 

1

 

 

Dòng 5(n = 5)

 

1

 

5

 

10

 

10

 

5

 

1

 

Dòng 6(n = 6)

1

 

6

 

15

 

20

 

15

 

6

 

1

Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1; dòng k + 1 được thành lập từ dòng k

 (k 1), chẳng hạn  ở dòng 2 (n = 2) ta có 2 = 1 + 1, dòng 3 (n = 3): 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2

dòng 4 (n = 4): 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, …

Với n = 4 thì:   (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

Với n = 5 thì:   (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

Với n = 6 thì:  (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6

c) Cách 3: Tìm hệ số của hạng tử đứng sau theo các hệ số của hạng tử đứng trước:

a) Hệ số của hạng tử thứ nhất bằng 1

b) Muốn có hệ số của của hạng tử  thứ k + 1, ta lấy hệ số của hạng tử thứ k nhân với số mũ của biến trong hạng tử thứ k rồi chia cho k

Chẳng hạn: (a + b)4  = a4 + (frac{{1.4}}{1})a3b + (frac{{4.3}}{2})a2b2 +  (frac{{4.3.2}}{{2.3}})ab3 +  (frac{{4.3.2.}}{{2.3.4}})b5

Chú ý rằng: các hệ số của khai triển Niutơn có tính đối xứng qua hạng tử đứng giữa, nghĩa

là các hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối có hệ số bằng nhau

(a + b)n = an + nan -1b + (frac{{{rm{n(n  –  1)}}}}{{{rm{1}}{rm{.2}}}})an – 2b2 + …+ (frac{{{rm{n(n  –  1)}}}}{{{rm{1}}{rm{.2}}}})a2bn  – 2 + nan – 1bn – 1 + bn

4.  Ví dụ

1. Ví dụ 1: phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) A =  (x + y)5 – x5  – y5

Cách 1: khai triển (x + y)5 rồi rút gọn A

A  =  (x + y)5 – x5  – y5  = ( x5 + 5x4y + 10x3y2  + 10x2y3 + 5xy4 + y5) – x5  – y5

=  5x4y + 10x3y2  + 10x2y3 + 5xy4 = 5xy(x3 + 2x2y + 2xy2 + y3)

=  5xy [(x + y)(x2 – xy + y2) + 2xy(x + y)] = 5xy(x + y)(x2 + xy + y2)

Cách 2: A = (x + y)5 – (x5  + y5)

x5  + y5 chia hết cho x  + y nên chia x5  + y5 cho x + y ta có:

x5  + y5 = (x + y)(x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4) nên A có nhân tử chung là (x + y), đặt (x + y) làm nhân tử chung, ta tìm được nhân tử còn lại

b) B = (x + y)7 – x7 – y7 = (x7+7x6y +21x5y2 + 35x4y3 +35x3y4 +21x2y5  7xy6 + y7) – x7 – y7

= 7x6y + 21x5y2 + 35x4y3 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6

=  7xy[(x5 + y5 ) + 3(x4y  + xy4) + 5(x3y2 + x2y3 )]

= 7xy {[(x + y)(x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4) ] + 3xy(x + y)(x2 – xy + y2) + 5x2y2(x + y)}

= 7xy(x + y)[x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4 + 3xy(x2 + xy + y2) + 5x2y2 ]

= 7xy(x + y)[x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4 + 3x3y – 3x2y2 + 3xy3 + 5x2y2 ]

= 7xy(x + y)[(x4 + 2x2y2 + y4) + 2xy (x2 + y2) + x2y2 ] =  7xy(x + y)(x2 + xy + y2 )2

Ví dụ 2: Tìm tổng hệ số các đa thức có được sau khi khai triển

a) (4x – 3)4

Cách 1: Theo cônh thức Niu tơn ta có:

(4x – 3)4 = 4.(4x)3.3 + 6.(4x)2.32 – 4. 4x. 33 + 34 = 256x4 – 768x3 + 864x2 – 432x + 81

 Tổng các hệ số: 256 – 768  + 864 – 432 + 81 = 1

b) Cách 2:    Xét đẳng thức (4x – 3)4 = c0x4 + c1x3 + c2x2 + c3x + c4

Tổng các hệ số:  c0 + c1 + c2 + c3 + c4

Thay x = 1 vào đẳng thức trên ta có: (4.1 – 3)4 =  c0 + c1 + c2 + c3 + c4

Vậy: c0 + c1 + c2 + c3 + c4 = 1

* Ghi chú: Tổng các hệ số khai triển của một nhị thức, một đa thức bằng giá trị của đa

thức đó tại x = 1

* Bài tập tự luyện

Bài 1: Phân tích thành nhân tử

a) (a + b)3 – a3 – b3                

b) (x + y)4 + x4 + y4

Bài 2: Tìm tổng các hệ số có được sau khi khai triển đa thức

a) (5x – 2)5                   

b) (x2  + x – 2)2010 + (x2 – x + 1)2011

Trên đây là nội dung tài liệu Chuyên đề Luỹ thừa bậc n của một nhị thức Toán 8. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm một số tư liệu cùng chuyên mục tại đây:

  • Các dạng toán về Trung điểm của đoạn thẳng Toán 6
  • Các dạng toán về Vẽ đoạn thẳng cho biết độ dài Toán 6

​Chúc các em học tập tốt!

Đỗ Thủy

Tôi là Đỗ Thủy đam mê sáng tạo viết Blog hàng ngày là những công việc mà tôi đang làm nó thực sự là những gì tôi yêu thích hãy theo dõi tôi để có những kiến thức bổ ích về xã hội ,cộng đồng và học tập.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button