Lớp 9

Chuyên đề Tìm giá trị của x nguyên để A nhận giá trị nguyên Toán 9

Nhằm giúp các em có thêm đề thi tham khảo, chuẩn bị thật tốt cho kì thi sắp đến. Ôn Thi HSG đã biên soạn Chuyên đề Tìm giá trị của x nguyên để A nhận giá trị nguyên Toán 9 sẽ giúp các em làm quen với cấu trúc với đề thi. Đồng thời, kèm với mỗi đề thi đều có đáp án và gợi ý giải giúp các em vừa luyện tập vừa đối chiếu kết quả.

Chuyên đề

TÌM GIÁ TRỊ CỦA (x) NGUYÊN ĐỂ A NHẬN GIÁ TRỊ NGUYÊN

1. Nhắc lại về cách tìm giá trị của x để biểu thức nguyên

1.1. Dạng 1: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

+ Thông thường biểu thức A sẽ có dạng (A=frac{fleft( x right)}{gleft( x right)}) trong đó f(x) và g(x) là các đa thức và (gleft( x right)ne 0)

+ Cách làm:

– Bước 1: Tách về dạng (A=mleft( x right)+frac{k}{gleft( x right)}) trong đó m(x) là một biểu thức nguyên khi x nguyên và k có giá trị là số nguyên

– Bước 2: Để A nhận giá trị nguyên thì (frac{k}{gleft( x right)}) nguyên hay (kvdots gleft( x right)) nghĩa là g(x) thuộc tập ước của k

– Bước 3: Lập bảng để tính các giá trị của x

– Bước 4: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hơp, sau đó kết luận

1.2. Dạng 2: Tìm giá trị của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

+ Đây là một dạng nâng cao hơn bài tập tìm gá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên bởi ta chưa xác định giá trị của biến x có nguyên hay không để biến đổi biểu thức A về dạng (A=mleft( x right)+frac{k}{gleft( x right)}). Bởi vậy, để làm được dạng bài tập này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

– Bước 1: Áp dụng điều kiện cùng với các bất đẳng thức đã được, chứng minh m < A < M trong đó m, M là các số nguyên

– Bước 2: Trong khoảng từ m đến M, tìm các giá trị nguyên

– Bước 3: Với mỗi giá trị nguyên ấy, tìm giá trị của biến x

– Bước 4: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp rồi kết luận

2. Bài tập ví dụ tìm giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên

Bài 1: Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên

a, (frac{2}{x-1})                             

b, (frac{x-2}{x-1})                          

c, (frac{3sqrt{x}}{sqrt{x}+1}) 

Lời giải:

Bài toán thuộc vào dạng 1: tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên. Cách làm cụ thể cho từng bài như sau:

a, (frac{2}{x-1}) có điều kiện (xne 1)

Để (frac{2}{x-1}) nhận giá trị nguyên thì (2vdots left( x-1 right)Leftrightarrow x-1in Uleft( 2 right)=left{ pm 1;pm 2 right}) 

Ta có bảng:

x – 1

-2

-1

1

2

x

-1 (thỏa mãn)

0 (thỏa mãn)

2 (thỏa mãn)

3 (thỏa mãn)

Vậy với (xin left{ -1;0;2;3 right}) thì biểu thức (frac{2}{x-1}) nhận giá trị nguyên

b, (frac{x-2}{x-1}) có điều kiện (xne 1)

(frac{x-2}{x-1}=frac{x-1-1}{x-1}=frac{x-1}{x-1}-frac{1}{x-1}=1-frac{1}{x-1})

Để (frac{x-2}{x-1}) nhận giá trị nguyên thì (1vdots left( x-1 right)Leftrightarrow x-1in Uleft( 1 right)=left{ pm 1 right}) 

Ta có bảng:

x – 1

-1

1

x

0 (thỏa mãn)

2

Vậy với (xin left{ 0;2 right}) thì biểu thức (frac{x-2}{x-1}) nhận giá trị nguyên

c, (frac{3sqrt{x}}{sqrt{x}+1}) có điều kiện là (xge 0)

(frac{3sqrt{x}}{sqrt{x}+1}=frac{3left( sqrt{x}+1 right)-3}{sqrt{x}+1}=frac{3left( sqrt{x}+1 right)}{sqrt{x}+1}-frac{3}{sqrt{x}+1}=3-frac{3}{sqrt{x}+1}) 

Để (frac{3sqrt{x}}{sqrt{x}+1}) nhận giá trị nguyên thì (3vdots left( sqrt{x}+1 right)Leftrightarrow sqrt{x}+1in Uleft( 3 right)=left{ pm 1;pm 3 right})

Ta có bảng:

(sqrt{x}+1)

-3

-1

1

3

(sqrt{x})

-4 (loại)

-2 (loại)

0

2

x

 

 

0 (thỏa mãn)

4 (thỏa mãn)

Vậy với (xin left{ 0;4 right}) thì biểu thức (frac{3sqrt{x}}{sqrt{x}+1}) nhận giá trị nguyên

Bài 2: Tìm giá trị của x để các biểu thức dưới đây nhận giá trị nguyên

a, (frac{2sqrt{x}}{x+3})                          

b, (frac{2sqrt{x}}{x+sqrt{x}+1})                                   

Lời giải:

Bài toán thuộc vào dạng 2: tìm các giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên. Cách làm cụ thể cho từng bài như sau:

a, (frac{2sqrt{x}}{x+3}) có điều kiện là (xge 0)

Có (x ge 0 Rightarrow left{ begin{array}{l}
2sqrt x  ge 0\
x + 3 ge 3 > 0
end{array} right.). Suy ra ta có (frac{2sqrt{x}}{x+3}ge 0forall xge 0)(1)

Lại có (frac{2sqrt{x}}{x+3}=frac{2}{sqrt{x}+frac{3}{sqrt{x}}})

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho (xge 0) có (sqrt{x}+frac{3}{sqrt{x}}ge 2.sqrt{sqrt{x}.frac{3}{sqrt{x}}}=2sqrt{3})

(Rightarrow frac{2}{sqrt{x}+frac{3}{sqrt{x}}}le frac{2}{2sqrt{3}}=frac{sqrt{3}}{3})(2)

Từ (1) và (2) ta có: (0le frac{2sqrt{x}}{x+3}le frac{sqrt{3}}{3}) mà biểu thức nhận giá trị nguyên nên (frac{2sqrt{x}}{x+3}=0)

Giải phương trình tính được x = 0

Vậy với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị nguyên

b, (frac{2sqrt{x}}{x+sqrt{x}+1}) có điều kiện là (xge 0)

Có (x ge 0 Rightarrow left{ begin{array}{l}
2sqrt x  ge 0\
x + sqrt x  + 1 ge 0
end{array} right.forall x ge 0) (1)

Lại có (frac{2sqrt{x}}{x+sqrt{x}+1}=frac{2}{sqrt{x}+1+frac{1}{sqrt{x}}}) 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho (xge 0) có

 (sqrt{x}+frac{1}{sqrt{x}}ge 2Rightarrow sqrt{x}+frac{1}{sqrt{x}}+1ge 3Rightarrow frac{2}{sqrt{x}+1+frac{1}{sqrt{x}}}le frac{2}{3}) (2)

Từ (1) va (2) ta có (0le frac{2sqrt{x}}{x+sqrt{x}+1}le frac{2}{3}) mà biểu thức nhận giá trị nguyên nên (frac{2sqrt{x}}{x+3}=0). Giải phương trình được x = 0

Vậy với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị nguyên

3. Bài tập tự luyện tìm giá trị của x để biểu thức có giá trị nguyên

Bài 1: Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức dưới đây nhận giá trị nguyên

a, (frac{2}{x-1})                                        

b, (frac{sqrt{x}-3}{sqrt{x}+1})                                    

c, (frac{x+5}{x})   

d, (frac{{{x}^{2}}-3}{x-2})                                             

e, (frac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}+1})                                     

f, (frac{7}{sqrt{x}+3})

Bài 2: Tìm các giá trị của x để biểu thức dưới đây nhận giá trị nguyên

a, (frac{7sqrt{x}}{x+sqrt{x}+2})                                   

b, (frac{15sqrt{x}}{x+sqrt{x}+1})                                 

c, (frac{3sqrt{x}}{x+5sqrt{x}+9})

Trên đây là nội dung tài liệu Chuyên đề Tìm giá trị của x nguyên để A nhận giá trị nguyên Toán 9. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm một số tư liệu cùng chuyên mục tại đây:

  • Bộ 4 đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2021 có đáp án Trường THCS Phan Bội Châu
  • Bộ 4 đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2021 có đáp án Trường THCS Hùng Vương

​Chúc các em học tập tốt !

Đỗ Thủy

Tôi là Đỗ Thủy đam mê sáng tạo viết Blog hàng ngày là những công việc mà tôi đang làm nó thực sự là những gì tôi yêu thích hãy theo dõi tôi để có những kiến thức bổ ích về xã hội ,cộng đồng và học tập.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button