ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN 9 HÀ NỘI NĂM HỌC 2018-2019

ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN 9 HÀ NỘI NĂM HỌC 2018-2019

Câu 1 (5,0 điểm)

a) Giải phương trình: \sqrt[3]{{2 - x}} = 1 - \sqrt {x - 1}.

b) Cho S = \left( {1 - \frac{2}{{2.3}}} \right)\left( {1 - \frac{2}{{3.4}}} \right)...\left( {1 - \frac{2}{{2020.2021}}} \right) là một tích của 2019 thừa số. Tính S (kết quả để dưới dạng phân số tối giản).

Câu 2 (5,0 điểm)

a) Biết a, b là các số nguyên dương thỏa mãn {a^2} - ab + {b^2} chia hết cho 9, chứng minh rằng cả  a và b đều chia hết cho 3.

b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho {9^n} + 11 là tích của k (k thuộc N, k >=2)  số tự nhiên liên tiếp.

Câu 3 (3,0 điểm)

a) Cho x, y, z là các số thực dương nhỏ hơn 4. Chứng minh rằng trong các số \frac{1}{x} + \frac{1}{{4 - y}},\frac{1}{y} + \frac{1}{{4 - z}},\frac{1}{z} + \frac{1}{{4 - x}} luôn tồn tại ít nhất một số lớn hơn hoặc bằng 1.

b) Với các số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2abc = 1, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = ab + bc + ca – abc.

Câu 4 (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi S là giao điểm của AI và DE.

a) Chứng minh rằng tam giác IAB đồng dạng với tam giác EAS.

b) Gọi K là trung điểm của AB và O  là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm K, O, S thẳng hàng.

c) Gọi M là giao điểm của KI và AC. Đường thẳng chứa đường cao  AH của tam giác ABC cắt đường thẳng DE tại N. Chứng minh rằng AM = AN.

Câu 5 (1,0 điểm)

Xét bảng ô vuông cỡ 10 x 10 gồm 100 hình vuông có cạnh 1 đơn vị. Người ta điền vào mỗi ô vuông của bảng một số nguyên tùy ý sao cho hiệu hai số được điền ở hai ô chung cạnh bất kỳ đều có giá trị tuyệt đối không vượt quá 1. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên xuất hiện trong bảng ít nhất 6 lần.

———– Hết ———

Xem thêm: ĐỀ THI HSG TOÁN 9 TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2018 – 2019

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button