ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN 9 TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2018-2019

Câu 1 (2,0 điểm)

a) Cho $P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {xy} + \sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt {yz} + \sqrt y + 1}} + \frac{{3\sqrt z }}{{\sqrt {xz} + 3\sqrt z + 3}}$ và xyz = 9. Tính $\sqrt {10P - 1}$ .

b) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn: $x + y + z + \sqrt {xyz} = 4$ .

Chứng minh rằng: $\sqrt {x\left( {4 - y} \right)\left( {4 - z} \right)} + \sqrt {y\left( {4 - z} \right)\left( {4 - x} \right)} + \sqrt {z\left( {4 - x} \right)\left( {4 - y} \right)} = 8 + \sqrt {xyz}$

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình: $\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} + 3 = 3{x^2} - 6x$

b) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{gathered} {x^2} + {y^2} + xy + 1 = 2x \hfill \\ x{\left( {x + y} \right)^2} + x - 2 = 2{y^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Câu 3: (2,0 điểm)

a) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình ${x^2} + x + 2{y^2} + y = 2x{y^2} + xy + 3$

b) Chứng minh rằng $a_1^3 + a_2^3 + a_3^3 + ... + a_n^3$ chia hết cho 3, biết ${a_1},\,{a_2},\,{a_3},\,...\,,\,{a_n}$ là các chữ số của ${2019^{2018}}$

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho tam giác MNP có 3 góc M, N, P nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Gọi Q là trung điểm của NP và các đường cao MD, NE, PF của tam giác MNP cắt nhau tại H.

Chứng minh rằng:

a) MH = 2OQ

b) Nếu MN + MP = 2NP thì sinN + sinP = 2sinM.

c) ME.FH + MF.HE = $\sqrt 2 {R^2}$ biết $NP = R\sqrt 2$

Câu 5 (1,0 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{{a{b^2}}}{{a + b}} + \frac{{b{c^2}}}{{b + c}} + \frac{{c{a^2}}}{{c + a}}$ biết a,b,c là các số dương thỏa mãn $\frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}} + \frac{1}{{ab}} = 3$

——- Hết ———

.Xem thêm: ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN 9 HÀ NỘI NĂM HỌC 2018-2019

Related Articles

Trả lời Hủy