Đề thi HSG toán 9 Bảo Lộc năm học 2017 – 2018

Đề thi HSG toán 9 Bảo Lộc năm học 2017 – 2018 thi ngày 05/12/2017

Do có nhiều bạn yêu cầu nên mình hướng dẫn một số câu như sau:

Câu 1, 2, 3 Dễ các bạn tự giải

Câu 4

a) [latex]\begin{array}{l}
2\left( {{a^4} + {b^4}} \right) \ge a{b^3} + {a^3}b + 2{a^2}{b^2}\\
\Leftrightarrow {a^4} – {a^3}b + {b^4} – a{b^3} + {a^4} + {b^4} – 2{a^2}{b^2} \ge 0\\
\Leftrightarrow {a^3}(a – b) – {b^3}(a – b) + {\left( {{a^2} – {b^2}} \right)^2} \ge 0\\
\Leftrightarrow {\left( {a – b} \right)^2}\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) + {\left( {{a^2} – {b^2}} \right)^2} \ge 0
\end{array}[/latex]

b) [latex]a,b > 0;\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1 = > \frac{1}{a};\frac{1}{b} < 1 = > a;b > 1[/latex] nên các căn có nghĩa

[latex]\begin{array}{l}
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1 \Leftrightarrow a + b = ab \Leftrightarrow ab – a – b + 1 = 1\\
\Leftrightarrow \left( {a – 1} \right)\left( {b – 1} \right) = 1
\end{array}[/latex]

Biến đổi

[latex]\begin{array}{l}
\sqrt {a + b} = \sqrt {a – 1} + \sqrt {b – 1} \\
\Leftrightarrow a + b = a + b – 1 – 1 + 2\sqrt {\left( {a – 1} \right)\left( {b – 1} \right)} \\
\Leftrightarrow \sqrt {\left( {a – 1} \right)\left( {b – 1} \right)} = 1\\
\Leftrightarrow \left( {a – 1} \right)\left( {b – 1} \right) = 1(OK)
\end{array}[/latex]

Câu 5:

a)

Ta có: [latex]AE.EC = D{E^2} \Leftrightarrow \frac{{AE.EC}}{{E{C^2}}} = \frac{{D{E^2}}}{{E{C^2}}} \Leftrightarrow \frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{D{E^2}}}{{E{C^2}}}[/latex]

Chứng minh hai tam giác DEC và ADC đồng dạng =>  [latex]\frac{{DE}}{{EC}} = \frac{{AD}}{{DC}} = \frac{{BC}}{{AB}}[/latex]

=>đpcm

b)

Từ M kẻ đường thẳng song song với DC cắt DH tại G

Ta chứng minh được AG vuông góc với DM (3 đường cao tam giác đồng quy)

Ta chứng minh được ABMG là hình bình hành => AG // BM

=>đpcm

Câu 6:

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [latex]B = \frac{x}{2} + \frac{2}{{x – 1}}[/latex] , với x > 1.

Biến đổi và sử dụng cosy cho hai số dương:
[latex]B = \frac{x}{2} + \frac{2}{{x – 1}} = \frac{{x – 1}}{2} + \frac{2}{{x – 1}} + \frac{1}{2} \ge 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}[/latex]

Dấu “=” xảy ra khi  (x – 1)2 = 4 <=> x = 3 hoặc x = -1 (loại)

b) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p + 1)(p –1) chia hết cho 24

p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ => p =2k+1 => (p + 1)(p –1) = … chia hết cho 8

Tiếp tục p nguyên tố lớn hơn 3 nên p = 3n ± 1 => (p + 1)(p –1) chia hết cho 3

=>  (p + 1)(p –1) chia hết cho 24

Câu 7:

Gọi tiếp tuyến tại C cắt tiếp tuyến tại A ở E, BE cắt DC tại I

Ta có BD // CE => DI/IC = BD/CE = DA/AE => AI // EC => AI vuông góc với BC

Mà AH cũng vuông góc với BC nên A, I, H thẳng hàng

IE/IB = IC/ID => IE/(IB+IE) = IC/(IC+ID) hay IE/BE = IC/CD

=> AI/BD = IE/BE = IC/CD =IH/BD => AI = IH

=> CD đi qua trung điểm I của AH

One Comment

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button