Đề thi HSG toán 9 Tỉnh Sóc Trăng – Năm học 2013 – 2014 – Cùng hướng dẫn

Đề thi HSG toán 9 Tỉnh Sóc Trăng – Năm học 2013 – 2014 – Cùng hướng dẫn.

• Đề thi HSG toán 9  Sóc Trăng 1213

I. Đề thi HSG toán 9 Sóc Trăng 1314

Bài 1. (3,0 điểm)

Rút gọn và tính giá trị của biểu thức:

[latex size=2]A = \left( {\frac{1}{{\sqrt {x + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {x – 1} }}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt {x – 1} }} – \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}} \right)\,;\,\,\,\,\,\,\,\,x = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2ab}},\,\,a > b > 0[/latex]

Bài 2. (4,0 điểm)

a) Chứng minh rằng: Với mọi n thuộc N thì n⁴ – n² chia hết cho 12.

b) Tìm các chữ số x và y sao cho số [latex]\overline {x73y5}[/latex] chia hết cho 33

Bài 3. (5,0 điểm)

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5x – 3y – 2xy +11 = 0

b) Giải hệ phương trình sau:

[latex size=2]\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{x} – \frac{1}{{y – 2}} = – 1\\
\frac{4}{x} + \frac{3}{{y – 2}} = 5
\end{array} \right.[/latex]

Bài 4. (4,0 điểm)

Cho đoạn thẳng CD = 6 cm, I là một điểm nằm giữa C và D ( IC > ID). Trên tia Ix vuông góc với CD lấy hai điểm M và N sao cho IC = IM, ID = IN, CN cắt MD tại K ( K thuộc MD) , DN cắt MC tại L (L thuộc MC) . Tìm vị trí của điểm I trên CD sao cho CN.NK có giá trị lớn nhất.

Bài 5. (4,0 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax và By lần lượt tại C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại ở N.

a) Chứng minh: CM.CB = CN.CD

b) Chứng minh: AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

II. Hướng dẫn giải Đề thi HSG toán 9 Sóc Trăng 1314

Bài 4:

Tam giác IND vuông tại I có IN = ID (gt)

=> ∆ IND vuông cân tại I nên góc IND = góc IDN = 45⁰ . Chứng minh tương tự ta có ∆ IMC vuông cân tại I

=> góc IMC = góc ICM = 45⁰

Tam giác LCD có góc LCD = góc LDC = 45⁰

=> ∆ LCD vuông cân tại L

=> DL vuông góc với LC

Mà MI vuông góc  CD (gt)

Có DL và MI là hai đường cao của ∆CDM cắt nhau tại N

=> N là trực tâm ∆ CDM

=> CN vuông góc  MD hay CK vuông góc MD

∆CNI và ∆MNK có: góc CIN = góc MKN = 90⁰ ; góc INC = góc KNM (đđ )

=> ∆CNI đồng dạng ∆MNK (g-g); Suy ra  CN/MN =  NI/NK

=> CN.NK = MN.NI

Ta có: MN.NI = (MI – NI).NI = ( CI – ID).ID = (CD – ID – ID).ID

Đặt ID = x; x > 0 ta được:

æ       3 ö2      9     9

MN.NI = (6 – 2x).x  = 6x – 2x²  =   – 2(x – 3/2) + 9/2 <=9/2

Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra khi x = 3/2 (Thoả mãn điều kiện x > 0)

Vậy CN. NK có giá trị lớn nhất là 9/2  khi ID = 3/2 cm.