Lý thuyết và bài tập về Góc giữa hai đường thẳng Toán 10

Để giúp các em học sinh lớp 10 có thêm tài liệu để Ã´n tập chuẩn bị trước HKII sắp tới HOC247 giới thiệu đến các em tài liệu Lý thuyết và bài tập về Góc giữa hai đường thẳng Toán 10 với nội dung gồm tóm tắt lý thuyết, ví dụ và bài tập vận dụng. Hi vọng tài liệu này sẽ có ích cho các em, chúc các em có kết quả học tập tốt!

1. Lý thuyết

a. Cho ({{Delta }_{1}}) và ({{Delta }_{2}}) cắt nhau tạo thành 4 góc:

+ Nếu ({{Delta }_{1}}) không vuông góc với ({{Delta }_{2}}) thì góc nhọn trong 4 góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ({{Delta }_{1}},{{Delta }_{2}}Rightarrow left( widehat{{{Delta }_{1}},{{Delta }_{2}}} right)<{{90}^{0}})

+ Nếu ({{Delta }_{1}}bot {{Delta }_{2}}) thì góc giữa chúng là ({{90}^{0}}.)

+ Nếu ({{Delta }_{1}}//{{Delta }_{2}}) (hoặc ({{Delta }_{1}}equiv {{Delta }_{2}}) ) góc giữa chúng là ({{0}^{0}}.)

b. Cho 2 đường thẳng ({{Delta }_{1}}:Ax+By+C=0) có VTPT (noverrightarrow{_{1}}=left( A;B right))

                                    ({{Delta }_{2}}:{A}’x+{B}’y+{C}’=0) có VTPT (noverrightarrow{_{2}}=left( {A}’;{B}’ right))

Gọi (alpha ) là góc giữa (Delta _{1}^{{}}vgrave{a}{{Delta }_{2}})

(Rightarrow varphi =left( widehat{{{Delta }_{1}},{{Delta }_{2}}} right)Rightarrow cos varphi =cos left( overrightarrow{{{n}_{1}}}.overrightarrow{{{n}_{2}}} right)=frac{left| overrightarrow{{{n}_{1}}}.overrightarrow{{{n}_{2}}} right|}{left| overrightarrow{{{n}_{1}}} right|.left| overrightarrow{{{n}_{2}}} right|}Rightarrow cos varphi =frac{left| A{A}’+B{B}’ right|}{sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}sqrt{{{{{A}’}}^{2}}+{{{{B}’}}^{2}}}}) (6)

Chú ý:

(left| begin{align} & varphi =left( widehat{{{Delta }_{1}},{{Delta }_{2}}} right)Rightarrow 0le varphi le {{90}^{0}} \ & {{Delta }_{1}}bot {{Delta }_{2}}Leftrightarrow overrightarrow{{{n}_{1}}}bot overrightarrow{{{n}_{2}}} Leftrightarrow overrightarrow{n_{1}^{{}}}.overrightarrow{{{n}_{2}}}=0Leftrightarrow A{A}’+B{B}’=0 \ & {{Delta }_{1}}:y={{k}_{1}}x+{{m}_{1}};{{Delta }_{2}}:y={{k}_{2}}x+{{m}_{2}}Rightarrow {{Delta }_{1}}bot {{Delta }_{2}}Leftrightarrow {{k}_{1}}{{k}_{2}}=-1 \ end{align} right.)

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho ({{d}_{1}}:x-2y+5=0) và ({{d}_{2}}:3x-y+1=0), góc giữa d1 và d2 là: A. ({{30}^{0}}.) B. ({{45}^{0}}.) C. ({{60}^{0}}.) D. ({{90}^{0}}.)

Lời giải:

+ VTPT của d1 và d2 lần lượt là: (overrightarrow{{{n}_{1}}}=left( 1;-2 right);overrightarrow{{{n}_{2}}}=left( 3;-1 right))

+ Gọi (varphi ) là góc giữa ({{Delta }_{1}},{{Delta }_{2}}.) Khi đó:

                        (cos varphi =frac{left| overrightarrow{{{n}_{1}}}.overrightarrow{{{n}_{2}}} right|}{left| overrightarrow{{{n}_{1}}} right|.left| overrightarrow{{{n}_{2}}} right|}=frac{left| 1.3+left( -2 right).(-1) right|}{sqrt{{{1}^{2}}+{{left( -2 right)}^{2}}}sqrt{{{3}^{2}}+{{left( -1 right)}^{2}}}}=frac{1}{sqrt{2}}Rightarrow varphi ={{45}^{0}}.)

2. Bài tập

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho hai vectÆ¡ (overrightarrow{a}) và (overrightarrow{b}) biết (overrightarrow{a}=left( 1;,-2 right)), (overrightarrow{b}left( -1;,-3 right)). Tính góc giữa hai vectÆ¡ (overrightarrow{a}) và (overrightarrow{b}). A. (45{}^circ ). B. (60{}^circ ). C. (30{}^circ ). D. (135{}^circ ).

Lời giải

Chọn A.

Ta có (cos left( overrightarrow{a},overrightarrow{b} right)=frac{overrightarrow{a}.overrightarrow{b}}{left| overrightarrow{a} right|left| overrightarrow{b} right|} =frac{-1+6}{sqrt{5}.sqrt{10}}=frac{sqrt{2}}{2}).

Vậy (left( overrightarrow{a},overrightarrow{b} right)=45{}^circ ).

Bài 2: Cho hai đường thẳng ({{d}_{1}}:2x-4y-3=0) và ({{d}_{2}}:3x-y+17=0). Số đo góc giữa ({{d}_{1}}) và ({{d}_{2}}) là A. (frac{pi }{4}). B. (frac{pi }{2}). C. (frac{3pi }{4}). D. (-frac{pi }{4}).

Lời giải

Chọn A.

Ta có (cos left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} right)=frac{left| 2.3+left( -4 right).left( -1 right) right|}{sqrt{{{2}^{2}}+{{left( -4 right)}^{2}}}.sqrt{{{3}^{3}}+{{left( -1 right)}^{2}}}}=frac{10}{10sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2})

Suy ra số đo góc giữa ({{d}_{1}}) và ({{d}_{2}}) là (frac{pi }{4}).

Bài 3: Cho hai đường thẳng ({{d}_{1}}:x-y-2=0) và ({{d}_{2}}:2x+3y+3=0). Góc tạo bởi đường thẳng ({{d}_{1}}) và ({{d}_{2}}) là ( chọn kết quả gần đúng nhất ) A. (11{}^circ 1{9}’). B. (78{}^circ 4{1}’).   C. (101{}^circ 1{9}’). D. (78{}^circ 3{1}’)

Lời giải

Chọn B.

({{d}_{1}}:x-y-2=0) có 1 vectơ pháp tuyến là (overrightarrow{{{n}_{1}}}=left( 1,;,-1 right))

({{d}_{2}}:2x+3y+3=0) có 1 vectơ pháp tuyến là (overrightarrow{{{n}_{2}}}=left( 2,;,3 right))

Gọi góc tạo bởi đường thẳng ({{d}_{1}}) và ({{d}_{2}}) là (varphi ).

Ta có (cos varphi =frac{left| overrightarrow{{{n}_{1}}}.overrightarrow{{{n}_{2}}} right|}{left| overrightarrow{{{n}_{1}}} right|.left| overrightarrow{{{n}_{2}}} right|})

(=frac{left| 2-3 right|}{sqrt[{}]{{{1}^{2}}+{{left( -1 right)}^{2}}}.sqrt[{}]{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}})

(=frac{sqrt[{}]{26}}{26}Rightarrow varphi approx 78{}^circ 4{1}’)

…

Trên đây là một phần nội dung tài liệu PhÆ°Æ¡ng pháp viết phÆ°Æ¡ng trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau Toán 10 có đáp án chi tiết. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net Ä‘ể tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh Ã´n tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tốt!