Lý thuyết và bài tập về Phương trình elip Toán 10

Các em học sinh có thể tham khảo nội dung tài liệu Lý thuyết và bài tập về PhÆ°Æ¡ng trình elip Toán 10 được HOC247 sÆ°u tầm và tổng hợp bên dưới đây. Tài liệu gồm kiến thức trọng tâm và các câu hỏi trắc nghiệm có đáp án cụ thể hi vọng sẽ giúp các em ôn luyện và củng cố kiến thức chuẩn bị thật tốt cho kì thi sắp đến.

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Elip là tập hợp tất cả những điểm thuộc mặt phẳng và tổng khoảng cách tới hai điểm cố định luôn là một số dương không đổi 2a.

Khi đó:

+ ({{F}_{1}},,{{F}_{2}}) gọi là tiêu điểm của elip + ({{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c,,left( 0<c<a right)) gọi là tiêu cự của elip + Tỉ số (e=frac{c}{a}<1) gọi là tâm sai

 

Ví dụ 1: Cho 2 đường tròn (left( {{C}_{1}} right)) và (left( {{C}_{2}} right)) thỏa mãn (left( {{C}_{2}} right)) qua tâm (left( {{C}_{1}} right)). Tập hợp tâm các đường tròn tiếp xúc ngoài với (left( {{C}_{2}} right)) và tiếp xúc trong với (left( {{C}_{1}} right)) là      A. một đường thẳng                                           B. một đường tròn             C. một đường parabol                                        D. một đường elip

Lời giải

+ Gọi đường tròn tiếp xúc ngoài với (left( {{C}_{2}} right)) và tiếp xúc trong với (left( {{C}_{1}} right)) là (left( {{C}_{m}} right)) có tâm M và bán kính là R.

(left( {{C}_{1}} right)) có tâm ({{I}_{1}}) và bán kính ({{R}_{1}})

(left( {{C}_{2}} right)) có tâm ({{I}_{2}}) và bán kính ({{R}_{2}})

+ Do (left( {{C}_{m}} right)) tiếp xúc trong với (left( {{C}_{1}} right)Rightarrow M{{I}_{1}}={{R}_{1}}-R)

         (left( {{C}_{m}} right)) tiếp xúc ngoài với (left( {{C}_{2}} right)Rightarrow M{{I}_{2}}={{R}_{2}}+R)

(Rightarrow M{{I}_{1}}+M{{I}_{2}}={{R}_{1}}+{{R}_{2}}left( * right))

Do (left( {{C}_{1}} right),,left( {{C}_{2}} right)) cố định nên ({{I}_{1}},,{{I}_{2}}) cố định và ({{R}_{1}}+{{R}_{2}}=2a>0) là số không đổi nên (left( * right)

(Rightarrow ) Tổng khoảng cách từ M đến 2 điểm cố định ({{I}_{1}},,{{I}_{2}}) là một số dương không đổi (2a={{R}_{1}}+{{R}_{2}})

(Rightarrow ) Tập hợp M là một đường elip (tiêu điểm ({{I}_{1}},,{{I}_{2}}))

Đáp án D.

2. Phương trình elip

+ Trong mặt phẳng Oxy, cho ({{F}_{1}}left( -c;0 right),,,{{F}_{2}}left( c;0 right)) và độ dài không đổi 2a với (a>c>0,,forall Mleft( x;y right)) thỏa mãn (M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=2a) ta được

(left{ begin{align} & M{{F}_{1}}=a+frac{cx}{a} \ & M{{F}_{2}}=a-frac{cx}{a} \ end{align} right.left( 1 right)) gọi lá bán kính qua tiêu điểm của M

+ Từ (M{{F}_{1}}=a+frac{cx}{a}Rightarrow sqrt{{{left( x+c right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=a+frac{cx}{a}Leftrightarrow left( {{a}^{2}}-{{c}^{2}} right){{x}^{2}}+{{a}^{2}}{{x}^{2}}=left( {{a}^{2}}-{{c}^{2}} right){{a}^{2}})

Đặt ({{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}>0Rightarrow {{b}^{2}}{{x}^{2}}+{{a}^{2}}{{y}^{2}}={{a}^{2}}{{b}^{2}}Leftrightarrow ,,left( 2 right))

Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của elip có:

+ Tiêu điểm ({{F}_{1}}left( -c;0 right);,,{{F}_{2}}left( c;0 right))

+ Tiêu cự ({{F}_{1}}{{F}_{2}}={{c}_{1}}{{c}_{2}})

+ Tâm sai (e=frac{c}{a})

Lưu ý: (1) được chứng minh trong sách giáo khoa Hình học lớp 10 nâng cao

Ví dụ 2: Cho (left( E right):frac{{{x}^{2}}}{25}+frac{{{y}^{2}}}{16}=1). Một tiêu điểm của (E) có tọa độ là A. ({{F}_{1}}left( 3;0 right)) B. ({{F}_{1}}left( 0;-3 right)) C. ({{F}_{1}}left( -3;0 right)) D. ({{F}_{1}}left( 0;5 right))

Lời giải

Ta có ({{c}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}=25-16=9Rightarrow c=3Rightarrow {{F}_{1}}left( -3;0 right))

Đáp án C.

Ví dụ 3: Cho (left( E right):frac{{{x}^{2}}}{25}+frac{{{y}^{2}}}{16}=1). Có bao nhiêu điểm (Min left( E right)) sao cho (M{{F}_{1}}=2M{{F}_{2}})      A. 0                     B. 1                           C. 2                          D. 4

Lời giải

Gọi (Mleft( x;y right)in left( E right))

Ta có (a=5;,,b=4;,,c=3Rightarrow M{{F}_{1}}=a+frac{cx}{a}=5+frac{3x}{5};,,M{{F}_{2}}=a-frac{cx}{a}=5-frac{3x}{5})

(M{{F}_{1}}=2M{{F}_{2}}Leftrightarrow 5+frac{3x}{5}=2left( 5-frac{3x}{5} right)Rightarrow x=frac{25}{9}Rightarrow frac{{{left( frac{25}{9} right)}^{2}}}{25}+frac{{{y}^{2}}}{16}=1Rightarrow y=pm frac{8sqrt{14}}{9})

Vậy có 2 điểm M thỏa mãn

Đáp án C

3. Dạng của elip

– Tính đối xứng:

Cho (left( E right):frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1Rightarrow {{M}_{1}}left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)in left( E right)Rightarrow frac{x_{0}^{2}}{{{a}^{2}}}+frac{y_{0}^{2}}{{{b}^{2}}}=1Leftrightarrow frac{{{left( pm {{x}_{0}} right)}^{2}}}{{{a}^{2}}}+frac{{{left( pm {{y}_{0}} right)}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1)

({{M}_{2}}left( -{{x}_{0}};{{y}_{0}} right),,,{{M}_{3}}left( {{x}_{0}};-{{y}_{0}} right)) và ({{M}_{4}}left( -{{x}_{0}};{{y}_{0}} right)) cũng thuộc (E)

(E) đối xứng qua hai trục tọa độ và gốc tọa độ bởi vậy để chứng minh một tính chất bất kì của (E) ta có quyền giả sử x, y là các số không âm.

– Giao điểm với các trục:

(left( E right):frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1) cắt Ox tại ({{A}_{1}}left( -a;0 right),,,{{A}_{2}}left( a;0 right)) và cắt Oy tại ({{B}_{1}}left( 0;-b right),,,{{B}_{2}}left( 0;b right))

(Rightarrow {{A}_{1}}{{A}_{2}}=2a) là trục lớn của (E)

({{B}_{1}}{{B}_{2}}=2b) là trục nhỏ của (E)

– Hình chữ nhật cÆ¡ sở là hình chữ nhật ABCD với (Aleft( -a;b right),,Bleft( a;b right),,Cleft( a;-b right),,Dleft( -a;-b right))

(Rightarrow ) Diện tích hình chữ nhật cơ sở là ({{S}_{ABCD}}=2a.2b=4ab)

Ví dụ 4: (E) có một tiêu điểm là (Fleft( -2;0 right)) và một đỉnh (Aleft( 5;0 right)) có phương trình là A. (frac{{{x}^{2}}}{25}+frac{{{y}^{2}}}{4}=1) B. (frac{{{x}^{2}}}{25}+frac{{{y}^{2}}}{21}=1) C. (frac{{{x}^{2}}}{4}+frac{{{y}^{2}}}{25}=1) D. (frac{{{x}^{2}}}{21}+frac{{{y}^{2}}}{25}=1)

Lời giải

Gọi elip cần tìm là (left( E right):frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1) với (left{ begin{align} & a,,b,,c>0 \ & {{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}} \ end{align} right.)

Tiêu điểm (Fleft( -2;0 right)Rightarrow c=2)

Đỉnh (Aleft( 5;0 right)Rightarrow a=5)

Có ({{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}=25-4=21Rightarrow left( E right):frac{{{x}^{2}}}{25}+frac{{{y}^{2}}}{21}=1)

Đáp án B.

Lưu ý: Với bài này bạn có thể giải bằng cách thử từng phương án tìm tiêu điểm và đỉnh rồi kiểm tra lại với giả thiết và kết luận

Ví dụ 5: Elip có phÆ°Æ¡ng trình (left( E right):frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1) biết (E) có tâm sai là (frac{sqrt{5}}{3}); hình chữ nhật cÆ¡ sở có chu vi là 20. Khi đó giá trị a+2b là      A. 35                   B. – 5                        C. 7                          D. 8

Lời giải

Ta có (left( E right):frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1) với (left{ begin{align} & a,b,c>0 \ & {{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}left( 1 right) \ end{align} right.)

Tâm sai của (E) là (frac{sqrt{5}}{3}Rightarrow frac{c}{a}=frac{sqrt{5}}{3}Rightarrow c=frac{sqrt{5}}{3}a,left( 2 right))

Chu vi hình chữ nhật cơ sở là 20 (Rightarrow 2.left( 2a+2b right)=20Leftrightarrow a+b=5Rightarrow b=5-a,,,left( 3 right))

Thế (2), (3) vào (1) (Rightarrow {{left( 5-a right)}^{2}}={{a}^{2}}-frac{5}{9}{{a}^{2}})

(Leftrightarrow left[ begin{align} & a=3 \ & a=15 \ end{align} right.)

– Với (a=3Rightarrow b=2) thỏa mãn (Rightarrow a+2b=27) (đáp án C)

– Với (a=15Rightarrow b=-10) (loại) do a,b,c>0

Đáp án C

II. Bài tập

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, elip (E) có tiêu cá»± bằng 12 và tâm sai (e=frac{3}{5}). Cho các mệnh đề sau: (1) (E) có tiêu điểm ({{F}_{1}}left( -8;0 right)) và ({{F}_{2}}left( 8;0 right)) (2) (E) có độ dài trục nhỏ bằng 16. (3) (E) có đỉnh ({{A}_{2}}left( -10;0 right)) Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào sai?      A. (1) và (2)         B. (2) và (3)              C. (1), (2) và (3)       D. (1) và (3)

Lời giải

(E) có tiêu cự bằng 12 (Rightarrow 2c=12Rightarrow c=6)

Tâm sai (e=frac{c}{a}=frac{3}{5}Rightarrow a=10Rightarrow b=8)

Vậy mệnh đề (1), (3) là mệnh đề sai

Đáp án D

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, elip (left( E right):frac{{{x}^{2}}}{81}+frac{{{y}^{2}}}{49}=1). Tìm khẳng định đúng?      A. (E) có đỉnh ({{A}_{1}}left( 9;0 right)) và ({{B}_{1}}left( 0;-7 right))      B. (E) có dộ dài trục bé bằng (4sqrt{2})      C. (E) có dộ dài trục lớn bằng 18      D. (E) có diện tích hình chữ nhật cÆ¡ sở bằng 63.

Lời giải

(left( E right):frac{{{x}^{2}}}{81}+frac{{{y}^{2}}}{49}=1Rightarrow a=9;,,b=7Rightarrow c=sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=4sqrt{2})

Độ dài trục lớn là 2a=18

Đáp án C.

Bài 3: Tìm phương trình chính tắc của elip có tâm sai (e=frac{sqrt{5}}{3}) và hình chữ nhật cơ sở có chu vi bằng 20. A. (frac{{{x}^{2}}}{9}+frac{{{y}^{2}}}{5}=1) B. (frac{{{x}^{2}}}{9}+frac{{{y}^{2}}}{4}=0) C. (frac{{{x}^{2}}}{9}+frac{{{y}^{2}}}{4}=1) D. (frac{{{x}^{2}}}{4}+frac{{{y}^{2}}}{5}=1)

Lời giải

Gọi phương trình chính tắc của elip (left( E right):frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1,,,left( a,b>0 right))

Tâm sai (e=frac{sqrt{5}}{3}Rightarrow frac{c}{a}=frac{sqrt{5}}{3},,left( 1 right))

Hình chữ nhật cơ sở có chu vi bằng 20 (Rightarrow 2left( 2a+2b right)=20,,left( 2 right))

Có ({{c}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}},,,left( 3 right))

Từ (left( 1 right),left( 2 right),left( 3 right)Rightarrow left{ begin{align} & a=3 \ & b=2 \ & c=sqrt{5} \ end{align} right.)

(Rightarrow left( E right):frac{{{x}^{2}}}{9}+frac{{{y}^{2}}}{4}=1)

Đáp án C.

…

–(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)—

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về PhÆ°Æ¡ng trình elip Toán 10. Äá»ƒ xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net Ä‘ể tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh Ã´n tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!