Lớp 12

Phương pháp giải bài toán đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2, 3, 4 điểm phân biệt thỏa mãn hoành độ cho trước

PhÆ°Æ¡ng pháp giải bài toán đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2, 3, 4 điểm phân biệt thỏa mãn hoành độ cho trước Ä‘ược hoc247 biên soạn và tổng hợp dưới đây sẽ hệ thống tất cả các bài tập trắc nghiệm có đáp án nhằm giúp bạn đọc củng cố kiến thức lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải bài tập môn Toán 12. Mời các bạn cùng tham khảo

1. Phương pháp

Cho đồ thị hàm số (C): y = f(x) và trục hoành Ox

  • Lập phÆ°Æ¡ng trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox: f(x) = 0 (1)

  • Số giao điểm của (C) và Ox là số nghiệm của (1)

  • Tìm điều kiện để (1) có 2, 3, 4 nghiệm

  • Tìm điều kiện thõa mãn của nghiệm bằng cách sá»­ dụng định lí Vi – et

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Cho hàm số (y={{x}^{3}}+2left( m-1 right){{x}^{2}}-left( {{m}^{2}}+4m+1 right)x+2left( {{m}^{2}}+1 right)), có đồ thị là (left( {{C}_{m}} right)). Tìm (m) để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hÆ¡n 3.

Lời giải.

Số giao điểm của đồ thị đã cho  với trục hoành là số nghiệm của phÆ°Æ¡ng trình :

({{x}^{3}}+2left( m-1 right){{x}^{2}}-left( {{m}^{2}}+4m+1 right)x+2left( {{m}^{2}}+1 right)=0)(Leftrightarrow left( x-2 right)left[ {{x}^{2}}+2mx-left( {{m}^{2}}+1 right) right]=0)(left( * right)) (Leftrightarrow x=2) hoặc (f(x)={{x}^{2}}+2mx-{{m}^{2}}-1=0)

Để đồ thị đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hÆ¡n (3) khi và chỉ khi phÆ°Æ¡ng trình (left( * right)) có 3 nghiệm phân biệt có hoành độ nhỏ hÆ¡n (3) tức là phải có (f(x)=0) có (2) nghiệm phân biệt khác (2) và có hoành độ  nhỏ hÆ¡n (3).

(f(x)=0) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 (Leftrightarrow left{ begin{array}{l} f(2) ne 0\ Delta ‘ > 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} – {m^2} + 4m + 3 ne 0\ 2{m^2} + 1 > 0 end{array} right. Leftrightarrow m ne 2 pm sqrt 7 )

Với (mne 2pm sqrt{7}) thì (f(x)=0) có hai nghiệm ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) thỏa ({{x}_{1}}<{{x}_{2}}<3)

Nên có hệ : (left{ begin{array}{l} left( {3 – {x_1}} right)left( {3 – {x_2}} right) > 0\ left( {3 – {x_1}} right) + left( {3 – {x_2}} right) < 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {x_1}{x_2} – 3left( {{x_1} + {x_2}} right) + 9 > 0\ {x_1} + {x_2} < 6 end{array} right.)

Theo định lý viét, ta có (left{ begin{array}{l} {x_1}{x_2} = – {m^2} – 1\ {x_1} + {x_2} = – 2m end{array} right.)

Do đó ta có (left{ begin{array}{l} – {m^2} – 1 – 3left( { – 2m} right) + 9 > 0\ – 2m < 6 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {m^2} – 6m – 8 < 0\ m > – 3 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 3 – sqrt {17} < m < 3 + sqrt {17} \ m > – 3 end{array} right.)

(Leftrightarrow ) (3-sqrt{17}) < m < (3+sqrt{17}). 

Đối chiếu điều kiện (mne 2pm sqrt{7}), thu được (min left( 3-sqrt{17};3+sqrt{17} right)backslash left{ 2pm sqrt{7} right})

Vậy, với (min left( 3-sqrt{17};3+sqrt{17} right)backslash left{ 2pm sqrt{7} right}) thỏa đề bài.

Ví dụ 2 :  Cho hàm số  (y={{x}^{4}}-2(m+1){{x}^{2}}+2m+1),tìm (m) để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hÆ¡n (sqrt{3})

Lời giải.

Số giao điểm của đồ thị đã cho  với trục hoành là số nghiệm của phÆ°Æ¡ng trình :

({{x}^{4}}-2(m+1){{x}^{2}}+2m+1=0) (left( 1 right))

Đặt (t={{x}^{2}},tge 0) thì (left( 1 right)) trở thành: (f(t)={{t}^{2}}-2(m+1)t+2m+1=0).

Đồ thị của hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn (sqrt{3})

(Leftrightarrow fleft( t right)) có 2 nghiệm phân biệt ({{t}_{1}},,,{{t}_{2}}) sao cho:

(left[ begin{array}{l} 0 = {t_1} < {t_2} < 3\ 0 < {t_1} < 3 le {t_2} end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {Delta ^prime } = {m^2} > 0\ f(0) = 2m + 1 = 0\ S = 2(m + 1) < 3 end{array} right.) hoặc (left{ begin{array}{l} {Delta ^prime } = {m^2} > 0\ f(3) = 4 – 4m le 0\ S = 2(m + 1) > 0\ P = 2m + 1 > 0 end{array} right.), nghÄ©a là phải có: (m=-frac{1}{2}) hoặc (mge 1)

Vậy, với (m=-frac{1}{2}) hoặc (mge 1) thỏa mãn bài toán.

Ví dụ 3 : Äá»‹nh m để  đồ thị của  hàm số (y=frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-x+m+frac{2}{3},) cắt trục hoành taÌ£i ba điểm phân biệt có hoành độ ({{text{x}}_{text{1}}},text{ }{{text{x}}_{text{2}}},text{ }{{text{x}}_{text{3}}}) thỏa mãn (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}>15)

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định (D=mathbb{R})

PhÆ°Æ¡ng trình hoành độ giao điểm:  (frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-x+m+frac{2}{3}=0)

(Leftrightarrow {{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}-3x+3m+2=0)(Leftrightarrow (x-1)left[ {{x}^{2}}+left( 1-3m right)x-3m-2 right]=0,,,,,,,(1))

(Leftrightarrow x=1) hoặc (g(x)={{x}^{2}}+(1-3m)x-3m-2=0,,,,,(2))

Đồ thị của  hàm số  cắt trục hoành taÌ£i ba điểm phân biệt (Leftrightarrow )(1) có ba nghiệm phân biệt(Leftrightarrow )(2) có hai ngiệm phân biệt khác 1, tức  phải có hệ:

(left{ begin{array}{l} Delta = {(1 – 3m)^2} + 4(3m + 2) > 0\ g(1) = – 6m ne 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 3{m^2} + 2m + 3 > 0,forall m\ m ne 0 end{array} right. Leftrightarrow m ne 0,,(a))

Giả sử ({{text{x}}_{text{3}}}=text{ 1};~{{text{x}}_{text{1}}},text{ }{{text{x}}_{text{2}}})là nghiệm của (2). Ta có: ({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3m-1;,,,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-3m-2).

Khi đó: (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}>15Leftrightarrow {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1>15) (Leftrightarrow {{(3m-1)}^{2}}+2(3m+2)-14>0Leftrightarrow {{m}^{2}}-1>0Leftrightarrow m<-1vee m>1,,,(b))

Từ (a) và (b) ta có gía trị cần tìm là: (m<-1) hoặc (m>1).

Ví dụ 4. Hàm số (y={{x}^{3}}-2(m+1){{x}^{2}}+(5m-2)x-2m+4)  (1), (m) là tham số . Gọi (({{C}_{m}})) là đồ thị của hàm số (1). Tìm (m) để (({{C}_{m}})) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt (text{A},text{B},text{C}) sao cho :

1. (text{A}) là trung điểm của đoạn (text{BC})

2. (text{B},text{C}) có hoành độ nhỏ hơn (text{1}).

3. (text{BC}) có độ dài nhỏ nhất.

Lời giải.

Phương trình hoành độ giao điểm của (({{C}_{m}})) và Ox.

(,,,,,,,{{x}^{3}}-2(m+1){{x}^{2}}+(5m-2)x-2m+4=0,,,(*)Leftrightarrow (x-2)({{x}^{2}}-2mx+m-2)=0)(Leftrightarrow x=2,mathsf{ }g(x)={{x}^{2}}-2mx+m-2=0)

 (({{C}_{m}})) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt (text{A},text{B},text{C}) (Leftrightarrow )PhÆ°Æ¡ng trình (,(*)) có ba nghiệm phân biệt (Leftrightarrow )phÆ°Æ¡ng trình (g(x)=0) có hai nghiệm phân biệt khác 2.

(Leftrightarrow left{ begin{array}{l} Delta _g’ > 0\ g(2) ne 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {m^2} – m + 2 = {left( {m – frac{1}{2}} right)^2} + frac{7}{4} > 0\ 4 – 4m + m – 2 ne 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} forall m in R\ m ne frac{2}{3} end{array} right. Leftrightarrow m ne frac{2}{3},.)

1. (text{A}) là trung điểm của đoạn (text{BC})

Vì ba điểm (text{A},text{B},text{C}) thuộc trục hoành do đó (text{A}) là trung điểm của (text{BC}) (Leftrightarrow {{x}_{A}}=frac{{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{2}Leftrightarrow 2=frac{2m}{2}Leftrightarrow m=2)  (thỏa mãn điều kiện (mne frac{2}{3})).

2. (text{B},text{C}) có hoành độ nhỏ hơn (text{1}).

Gọi ({{text{x}}_{1}},{{x}_{2}}) là hoành độ của (text{B},text{C}), cũng là nghiệm phương trình (g(x)=0)

Theo bài toán, ta có: (,,,,,,left{ begin{array}{l} {x_1} < 1\ {x_2} < 1 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {x_1} – 1 < 0\ {x_2} – 1 < 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {x_1} – 1 + {x_2} – 1 < 0\ ({x_1} – 1)({x_2} – 1) > 0 end{array} right.)

( Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {x_1} + {x_2} < 2\ {x_1}{x_2} – ({x_1} + {x_2}) + 1 > 0 end{array} right.,,)  (Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 2m < 2\ m – 2 – 2m + 1 > 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} m < 1\ m < – 1 end{array} right. Leftrightarrow m < – 1)

Vậy, (m<-1) là giá trị cần tìm.

Cách khác:

Hai nghiệm của (g(x)=0) là ({{text{x}}_{text{1}}}=m-sqrt{{{m}^{2}}-m+2},,,,,{{x}_{2}}=m+sqrt{{{m}^{2}}-m+2}).

Vì ({{text{x}}_{text{1}}}<{{text{x}}_{text{2}}}) nên (,left{ begin{align} & {{x}_{1}}<1 \ & {{x}_{2}}<1 \ end{align} right.Leftrightarrow {{x}_{2}}<1Leftrightarrow m+sqrt{{{m}^{2}}-m+2}<1Leftrightarrow sqrt{{{m}^{2}}-m+2}<1-m)

( Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {m^2} – m + 2 ge 0,\ 1 – m > 0\ {m^2} – m + 2 < {m^2} – 2m + 1 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} forall m in R\ m < 1\ m < – 1 end{array} right. Leftrightarrow m < – 1.)

3. (text{BC}) có độ dài nhỏ nhất.

(BC=left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right|=2sqrt{{{m}^{2}}-m+2}=2sqrt{{{left( m-frac{1}{2} right)}^{2}}+frac{7}{4}}ge sqrt{7}.)

(BC=sqrt{7}Leftrightarrow m-frac{1}{2}=0Leftrightarrow m=frac{1}{2}) (thỏa điều kiện  (mne frac{2}{3})).

Chú ý. Ta cũng có thể dùng định lí Vi-et để tính BC như sau

(B{{C}^{2}}={{left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right|}^{2}}={{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=4{{m}^{2}}-4(m-2)=4({{m}^{2}}-m+2)).

3. Bài tập

Bài 1. Cho hàm số  (y={{x}^{4}}-2left( m+1 right){{x}^{2}}+2m+1) có đồ thị là (left( {{C}_{m}} right)), (m) là tham số. Tìm (m)để đồ thị (left( {{C}_{m}} right)) cắt trục hoành tại (3) điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hÆ¡n (3).

Bài 2. Cho hàm số (y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}+m+3),xác định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn ({{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}<1<2<{{x}_{4}}).

Bài 3. Cho hàm số y = ({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+(m-2)x+m+2) ( m là tham số ) (1).Gọi (left( {{text{C}}_{text{m}}} right))là đồ thị của hàm số (1). Tìm m để

1. (left( {{text{C}}_{text{m}}} right)) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt .

2. (left( {{text{C}}_{text{m}}} right))cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt trong đó có hai điểm có hoành độ dương.

–(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)–

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung PhÆ°Æ¡ng pháp giải bài toán đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2, 3, 4 điểm phân biệt thỏa mãn hoành độ cho trước. Äá»ƒ xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net Ä‘ể tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh Ã´n tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

  • PhÆ°Æ¡ng pháp giải bài toán đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1, 2, 3, 4 điểm phân biệt

  • Bài toán: đồ thị cắt trục hoành tạo 3, 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng, cấp số nhân

Chúc các em học tập tốt!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button