HomeChuyên đề

Phân tích đa thức thành nhân tử – Các phương pháp giải – Bài tập

Like Tweet Pin it Share Share Email
Like và share giúp mình phát triển website nhé.
  •  
  •  

Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những dạng toán hết sức cơ bản và quan trọng chương trình đại số 8, việc nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử sẽ giúp các bạn học sinh giải quyết các bài toán liên quan hết sức đơn giản. Xin được giới thiệu với các em các dạng toán phân tích từ cơ bản đến nâng cao.

I. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cơ bản

1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Đây là phương pháp đơn giản nhất, các bạn cần phải hết sức thành thạo phương pháp này, hãy nhớ quy tắc sau:

A.M + A.N – A.P + A.Q = A(M + N – P +Q)

Hãy xét một vài VD sau:

[latex]\begin{array}{l}
a)4{x^4}{y^3} + 8{x^4}{y^5} – 6{x^5}{y^3} = 2{x^4}{y^3}.2y + 2{x^4}{y^3}.4{y^2} – 2{x^4}{y^3}.3x = 2{x^4}{y^3}\left( {2y + 4{y^2} – 3x} \right)\\
b){x^2}(x – 4) – 2x(x – 4) = x(x – 4).x – x(x – 4).2 = x(x – 4)(x – 2)\\
c)x(y – 3) – 2(3 – y) = x(y – 3) + 2(y – 3) = (y – 3)(x + 2)
\end{array}[/latex]

Từ ví dụ c trên ta rút ra nhận xét: “Đôi khi phải làm đổi dấu để làm xuất hiện nhân tử chung”

2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Đây là phương pháp mà các bạn học sinh hay lúng túng nhất, đặc biệt khi áp dụng các hằng đảng thức mũ 3. Nếu các bạn để ý thì trong 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, mỗi hằng đẳng thức đều có một vế có dạng nhân tử, vì vậy nên ta có phương pháp này, các bạn cần nắm thật vững 7 HĐT để vận dụng cho hiệu quả

Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

[latex]\begin{array}{l}
a)\,4{x^2} – 4x + 1 = {\left( {2x – 1} \right)^2}\\
b)\,{y^2} + 8y + 16 = {\left( {y + 4} \right)^2}\\
c)\,9{x^2} – 2 = {\left( {3x} \right)^2} – {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = \left( {3x – \sqrt 2 } \right)\left( {3x + \sqrt 2 } \right)\\
d)\,8{x^3} – 125 = {\left( {2x} \right)^3} – {5^3} = \left( {2x – 5} \right)\left( {4{x^2} + 10x + 25} \right)\\
e)\,1 + 64{x^6} = {1^3} + {\left( {4{x^2}} \right)^3} = \left( {1 + 4{x^2}} \right)\left( {1 – 4{x^2} + 16{x^4}} \right)\\
f)\,{x^3} – 3{x^2} + 3x – 1 = {\left( {x – 1} \right)^3}\\
g)\,8{x^3} + 36{x^2}y + 54x{y^2} + 27{y^3} = {\left( {2x + 3y} \right)^3}
\end{array}[/latex]

3. Phân tích đa thức thành nhân tử – Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

Việc nhóm hợp lý các hạng tử của đa thức, sau đó sử dụng tiếp hai phương pháp phân tích trên (đặt nhân tử chung và HĐT) có thể giúp ta phân tích đa thức thành nhân tử khi mà không sử dụng được hai phương pháp trên.

Một số kĩ thuật nhóm cần lưu ý

Khi đa thức có 4 hạng tử ta thường nhóm 2 – 2 hoặc 3 – 1 (khi nhóm 3 – 1 thường đưa về dạng hiệu hai bình phương, tổng, hiệu hai lập phương)

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

[latex]\begin{array}{l}
a)\,2xy + 6x – y – 3 = \left( {2xy + 6x} \right) – \left( {y + 3} \right) = 2x\left( {y + 3} \right) – \left( {y + 3} \right).1 = \left( {2x – 1} \right)\left( {y + 3} \right)\\
b)\,{x^2} – 4x – 9{y^2} + 4 = \left( {{x^2} – 4x + 4} \right) – 9{y^2} = {\left( {x – 2} \right)^2} – {\left( {3y} \right)^2}
\end{array}[/latex]

4. Phân tích đa thức thành nhân tử – Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

Khi mà ba phương pháp trên không thực hiện được. Ta có thể tách một hạng tử nào đó của đa thức đã cho thành hai hay nhiều hạng tử sau đó tiếp tục sử dụng phương pháp nhóm cũng như các phương pháp khác để phân tích tiếp.

Trong chương trình Toán 8 ta cần nắm vững phương pháp tách đa thức bậc hai

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

[latex]\begin{array}{l}
a)\,{x^2} + 4x – 12 = {x^2} + 6x – 2x – 12 = \left( {{x^2} + 6x} \right) – \left( {2x + 12} \right)\\
= x\left( {x + 6} \right) – 2\left( {x + 6} \right) = \left( {x + 6} \right)\left( {x – 2} \right)\\
b)\,2{x^2} + 5x – 12 = 2{x^2} + 8x – 3x – 12 = \left( {2{x^2} + 8x} \right) – \left( {3x + 12} \right)\\
= 2x\left( {x + 4} \right) – 3\left( {x + 4} \right) = \left( {2x – 3} \right)\left( {x + 4} \right)
\end{array}[/latex]

5. Phân tích đa thức thành nhân tử – Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử

Đôi khi các phương pháp pháp trên không thể sử dụng được thì ta có thể nghĩ đến việc thêm vào đa thức một hạng tử nào đó và nhớ bớt đi đúng hạng tử đó, điều đó có thể làm xuất hiện những nhóm hạng tử hay hằng đẳng thức và giúp ta phân tích được bằng các phương pháp trên

Ví dụ:

[latex]{x^4} + 4 = \left( {{x^4} + 4{x^2} + 4} \right) – 4{x^2} = {\left( {{x^2} + 2} \right)^2} – {\left( {2x} \right)^2} = \left( {{x^2} + 2 + 2x} \right)\left( {{x^2} + 2 – 2x} \right)[/latex]

II. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao

6. Phương pháp đặt ẩn phụ

Trong một số trường hợp, có những biểu thức phức tạp ta có thể đặt một biến phụ cho một cụm đa thức nào đó để đưa về đa thức mới đơn giản hơn, sau khi phân tích xong thay lại giá trị của biến phụ.

Ví dụ: 

[latex]\begin{array}{l}
x\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right) – 3 = x\left( {x – 3} \right)\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right) – 3\\
= \left( {{x^2} – 3x} \right)\left( {{x^2} – 3x + 2} \right) – 3 = t\left( {t + 2} \right) – 3\,\,\left( {voi\,\,t = {x^2} – 3x} \right)\\
= {t^2} + 2t – 3 = {t^2} + 3t – t – 3 = t\left( {t + 3} \right) – \left( {t + 3} \right) = \left( {t + 3} \right)\left( {t – 1} \right)\\
= \left( {{x^2} – 3x + 3} \right)\left( {{x^2} – 3x – 1} \right)
\end{array}[/latex]

Đến đây vẫn có thể phân tích được tiếp nhưng đo “không đẹp” nên ta tạm để vậy.

7. Phương pháp nhẩm nghiệm

Cái này có nhiều vấn đề để nói tuy nhiên đơn giản nhất các bạn hãy nhớ:

Nếu đa thức f(x) có một nghiệm x = a thì có một nhân tử (x – a)

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

[latex]{x^3} – 2{x^2} – 5x + 6[/latex]

Các bạn hãy nhẩm xem đa thức này có nghiệm x bằng mấy (Nếu đa thức này có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ước của hê số tự do 6). chỉ cần nhẩm được một nghiệm là ta sẽ phân tích được. Ta thấy đa thức có nghiệm x = 1, nên sau khi phân tích sẽ có nhân tử (x – 1) vì vậy ta có thể tách như sau:

[latex]\begin{array}{l}
{x^3} – 2{x^2} – 5x + 6 = {x^3} – {x^2} – {x^2} + x – 6x + 6\\
= {x^2}\left( {x – 1} \right) – x\left( {x – 1} \right) – 6\left( {x – 1} \right) = \left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} – x – 6} \right)
\end{array}[/latex]

Đến đây đa thức bậc hai vẫn còn phân tích được tiếp, các bạn hãy dùng phương pháp tách để phân tích tiếp

8. Phương pháp hệ số bất định

Phương pháp này dùng cho các bạn bồi dưỡng học sinh giỏi nên mình không trình bày ở đây, các bạn có thể xem trong các tài liệu phí dưới.

III. Một số tài liệu, bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử

 

(Còn nữa)

Comments (0)

Trả lời

Your email address will not be published. Required fields are marked *