Tóm tắt lý thuyết và bài tập về vị trí tương đối của một điểm và một đường thẳng với (E)
Tóm tắt lý thuyết và bài tập về vị trí tương đối của một điểm và một đường thẳng với (E) được hoc247 biên soạn và tổng hợp dưới đây sẽ hệ thống tất cả các lý thuyết và bài tập trắc nghiệm có đáp án nhằm giúp bạn đọc củng cố kiến thức lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải bài tập môn Toán 10. Mời các bạn cùng tham khảo.
I. Lý thuyết
1. Vị trí tương đối của một điểm với (E)
Cho (left( E right):frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1) với a, b, c > 0 và điểm (Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right))
Xét biểu thức (frac{x_{0}^{2}}{{{a}^{2}}}+frac{y_{0}^{2}}{{{b}^{2}}}=T)
+ Nếu (T>1Rightarrow M) nằm ngoài (E)
+ Nếu (T=1Rightarrow M) nằm trên (E) (hay (Min left( E right)))
+ Nếu (T<1Rightarrow M) nằm trong (E)
2. Vị trí tương đối của đường thẳng với (E)
Cho (left( E right):frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1) với a, b, c > 0 và đường thẳng (Delta :Ax+By+C=0)
Xét hệ (left{ begin{align} & Ax+By+C=0,,left( 1 right) \ & frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1,,,left( 2 right) \ end{align} right.)
Rút y từ (1) thế vào (2) (Rightarrow {{A}_{1}}{{x}^{2}}+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}=0,,left( 3 right))
+ Nếu (3) vô nghiệm (Rightarrow Delta ) và (E) không có điểm chung
+ Nếu (3) có nghiệm kép (Rightarrow Delta ) và (E) tiếp xúc nhau.
+ Nếu (3) có hai nghiệm phân biệt (Rightarrow Delta ) và (E) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
|
Ví dụ: Cho (left( E right):frac{{{x}^{2}}}{25}+frac{{{y}^{2}}}{9}=1) và đường tròn (left( {{C}_{m}} right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2left( m-1 right)x+2y-1=0). Số giá trị m nguyên để đường tròn (left( {{C}_{m}} right)) có tâm nằm hoàn toàn tròn (E) là: A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 |
Lời giải
(C) có tâm là (Ileft( m-1;-1 right)). Tâm I nằm trong (E)
(Rightarrow frac{{{left( m-1 right)}^{2}}}{25}+frac{{{left( -1 right)}^{2}}}{9}<1Leftrightarrow {{left( m-1 right)}^{2}}<frac{8}{9}.25Leftrightarrow 1-frac{10sqrt{2}}{3}
(Rightarrow ) có 9 giá trị m nguyên thỏa mãn
Đáp án C.
|
Ví dụ: Cho (left( E right):frac{{{x}^{2}}}{16}+frac{{{y}^{2}}}{9}=1) và điểm (Ileft( 1;2 right)) đường thẳng d đi qua I cắt (E) tại hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của MN có vecto chỉ phương là (overrightarrow{u}=left( a;b right)) .Khi đó giá trị (frac{b}{a}) là: A. (frac{32}{9}) B. Không tồn tại C. (-frac{9}{32}) D. (frac{9}{32}) |
Lời giải
Đường thẳng d có VTCP là (overrightarrow{u}=left( a;b right)Rightarrow frac{b}{a}=k) là hệ số góc của đường thẳng d
(Rightarrow ) d qua I và có hệ số góc k (Rightarrow d:y=kleft( x-1 right)+2,,left( 1 right))
Tọa độ M, N là nghiệm của hệ (left{ begin{align} & y=kleft( x-1 right)+2,,left( 1 right) \ & frac{{{x}^{2}}}{16}+frac{{{y}^{2}}}{9}=1,,left( 2 right) \ end{align} right.)
(Rightarrow ) thế (1) vào (2) (Rightarrow 9{{x}^{2}}+16{{left[ kleft( x-1 right)+2 right]}^{2}}=144)
(Leftrightarrow left( 16{{k}^{2}}+9 right){{x}^{2}}+16left( 4k-2{{k}^{2}} right)+16{{k}^{2}}-64k-80=0,,left( 3 right))
Nhận thấy qua I luôn có đường thẳng cắt (E) tại hai điểm phân biệt, (3) luôn có 2 nghiệm phân biệt ({{x}_{1}},,{{x}_{2}}) với (forall k) là hoành độ của M, N.
Mà M, N, I thẳng hàng (cùng thuộc d) (Rightarrow ) I là trung điểm của MN
(Rightarrow frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}={{x}_{1}}Leftrightarrow frac{-16left( 4k-2{{k}^{2}} right)}{2left( 16{{k}^{2}}+9 right)}=1Leftrightarrow k=-frac{9}{32})
Đáp án C.
II. Bài tập
|
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (left( E right):frac{{{x}^{2}}}{16}+frac{{{y}^{2}}}{9}=1) và đường thẳng (Delta :x+y+c=0). Với giá trị nào của c thi (Delta ) là tiếp tuyến của (E) ? A. 5 B. (pm 25) C. (pm 5) D. (-5) |
Lời giải
(left( E right)) có ({{a}^{2}}=16;,,{{b}^{2}}=9)
Để (Delta ) là tiếp tuyến của (E) thì ({{16.1}^{2}}+{{9.1}^{2}}={{c}^{2}}Rightarrow {{c}^{2}}=25Rightarrow c=pm 5)
Đáp án C.
|
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (left( E right):frac{{{x}^{2}}}{32}+frac{{{y}^{2}}}{16}=1). Số đường thẳng d cắt elip (E) tại hai điểm phân biệt có tọa độ nguyên là: A. 9 B. 18 C. 120 D. 1 |
Lời giải
Giả sử (Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)in left( E right)) có tọa độ nguyên
(Rightarrow frac{x_{0}^{2}}{32}+frac{y_{0}^{2}}{16}=1Leftrightarrow x_{0}^{2}=32left( 1-frac{y_{0}^{2}}{16} right)=2left( 16-y_{0}^{2} right)ge 0Rightarrow 16-y_{0}^{2}ge 0Rightarrow y_{0}^{2}=16)
Mà ({{y}_{0}}in mathbb{Z}Rightarrow {{y}_{0}}in left{ pm 4;,pm 3;,pm 2;,pm 1;0 right})
Với ({{y}_{0}}=4Rightarrow {{x}_{0}}=0Rightarrow {{M}_{1}}left( 0;4 right)) (nhận)
Với ({{y}_{0}}=-4Rightarrow {{x}_{0}}=0Rightarrow {{M}_{2}}left( 0;-4 right)) (nhận)
Với ({{y}_{0}}=3Rightarrow {{x}_{0}}=pm sqrt{34}notin mathbb{Z})
Với ({{y}_{0}}=-3Rightarrow {{x}_{0}}=pm sqrt{34}notin mathbb{Z})
…
Với ({{y}_{0}}=0Rightarrow {{x}_{0}}=pm sqrt{32}notin mathbb{Z})
Vậy chỉ có duy nhất môtj đường thẳng d cắt (E) tại hai điểm có tọa độ nguyên.
Đáp án D.
|
Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (left( E right):4{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}=36) và điểm (Mleft( 1;-2 right)). Lập phương trình đường thẳng d đi qua M cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho M là tring điểm của AB. A. 2x-9y-20=0 B. 2x-y-20=0 C. 2x+9y-20=0 D. 9x-2y-13=0 |
Lời giải
Giả sử d đi qua (Mleft( 1;-2 right)) và có hệ số góc k
(Rightarrow d:y=kleft( x-1 right)-2Leftrightarrow d:y=kx-k-2)
Xét hệ tọa độ giao điểm (left{ begin{align} & 4{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}=36 \ & y=kx-k-2 \ end{align} right.Rightarrow 4{{x}^{2}}+9{{left( kx-k-2 right)}^{2}}=36)
(Rightarrow 4{{x}^{2}}+9left( {{k}^{2}}{{x}^{2}}+{{k}^{2}}+4-2{{k}^{2}}x-4kx+4k right)-36=0)
(Leftrightarrow left( 4+9{{k}^{2}} right){{x}^{2}}-2kleft( 9k+18 right)x+left( 9{{k}^{2}}+36k right)=0,,,left( * right))
Để (E) cắt d tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt ({{x}_{A}},,{{x}_{B}})
(Leftrightarrow Delta ‘>0Leftrightarrow {{k}^{2}}{{left( 9k+18 right)}^{2}}-left( 4+9{{k}^{2}} right)left( 9{{k}^{2}}+36k right)>0)
(Leftrightarrow {{k}^{2}}left( 81{{k}^{2}}+324k+324 right)-left( 36{{k}^{2}}+144k+81{{k}^{4}}+324{{k}^{3}} right)>0)
(Leftrightarrow 288{{k}^{2}}-144k>0Leftrightarrow 0
Với k thỏa mãn điều kiện (1) thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt ({{x}_{A}},,{{x}_{B}})
Khi đó theo Vi-et ta có: (left{ begin{align} & {{x}_{A}}+{{x}_{B}}=frac{18{{k}^{2}}+36k}{9{{k}^{2}}+4} \ & {{x}_{A}}{{x}_{B}}=frac{9{{k}^{2}}+36k}{4+9{{k}^{2}}} \ end{align} right.)
Vì M là trung điểm của AB nên ({{x}_{A}}+{{x}_{B}}=2{{x}_{M}})
(Leftrightarrow frac{18{{k}^{2}}+36k}{9{{k}^{2}}+4}=2.1=2Leftrightarrow 18{{k}^{2}}+36k=18{{k}^{2}}+8Leftrightarrow k=frac{2}{9}) (TMĐK (1))
Với (k=frac{2}{9}Rightarrow d:y=frac{2}{9}x-frac{20}{9}Rightarrow d:2x-9y-20=0)
Đáp án A.
|
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (left( E right):frac{{{x}^{2}}}{32}+frac{{{y}^{2}}}{16}=1) và đường thẳng (Delta :x-2sqrt{2}y=0) cắt elip (E) tại hai điểm phân biệt B và C. Điểm (Ain left( E right)) sao cho (Delta ABC) có diện tích lớn nhất. Tính giá trị của (P=x_{A}^{2}-y_{A}^{2}). A. 2 B. 0 C. 6 D. –6 |
Lời giải
Phương trình tham số của (left( E right):left{ begin{align} & x=4sqrt{2}sin t \ & y=2cos t \ end{align} right.,,tin left[ 0;2pi right])
Vì (Ain left( E right)) nên (Aleft( 4sqrt{2}sin t;,,2cos ,t right))
({{S}_{Delta ABC}}=frac{1}{2}.BC.dleft( A;Delta right))
Vì BC không đổi nên ({{S}_{Delta ABC}}maxLeftrightarrow dleft( A;Delta right)max)
Có (dleft( A;Delta right)=frac{left| 4sqrt{2}sin t-4sqrt{2}cos ,t right|}{sqrt{1+{{left( -2sqrt{2} right)}^{2}}}}=frac{4sqrt{2}left| sin t-cos ,t right|}{3})
(=frac{4sqrt{2}.sqrt{2}left| sin left( t-frac{pi }{4} right) right|}{3}=frac{8left| sin left( t-frac{pi }{4} right) right|}{3}le frac{8}{3})
(Rightarrow {{S}_{Delta ABC}}maxLeftrightarrow left| sin left( t-frac{pi }{4} right) right|=1Leftrightarrow left[ begin{align} & sin left( t-frac{pi }{4} right)=1 \ & sin left( t-frac{pi }{4} right)=-1 \ end{align} right.)
(Leftrightarrow left[ begin{align} & t-frac{pi }{4}=frac{pi }{2}+k2pi \ & t-frac{pi }{4}=frac{-pi }{2}+k2pi \ end{align} right.)
(Leftrightarrow left[ begin{align} & t=frac{3pi }{4}+k2pi \ & t=frac{-pi }{4}+k2pi \ end{align} right.,left( kin mathbb{Z} right))
Vậy (tin left[ 0;2pi right]Rightarrow left[ begin{align} & t=frac{3pi }{4} \ & t=frac{-pi }{4} \ end{align} right.)
– Với (t=frac{3pi }{4}Rightarrow Aleft( 2;-sqrt{2} right)Rightarrow P=x_{A}^{2}-y_{A}^{2}={{2}^{2}}-{{left( -sqrt{2} right)}^{2}}=2)
– Với (t=-frac{3pi }{4}Rightarrow Aleft( -2;sqrt{2} right)Rightarrow P=x_{A}^{2}-y_{A}^{2}={{left( -2 right)}^{2}}-{{left( sqrt{2} right)}^{2}}=2)
Đáp án A.
|
Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (left( C right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=8). Phương trình nào là phương trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại 4 điểm tạo thành 4 đỉnh của một hình vuông? A. (frac{{{x}^{2}}}{16}+frac{3{{y}^{2}}}{16}=1) B. (frac{{{x}^{2}}}{16}+frac{3{{y}^{2}}}{frac{16}{3}}=1) C. (frac{{{x}^{2}}}{16}-frac{3{{y}^{2}}}{frac{16}{3}}=1) D. (frac{{{x}^{2}}}{16}-frac{3{{y}^{2}}}{16}=1) |
Lời giải
Phương trình chính tắc của (E) có dạng: (frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1left( a>b>0 right))
(E) có độ dài trục lớn bằng 8 (Rightarrow 2a=8Rightarrow a=4)
Do (E) và (C) cùng nhận Ox, Oy làm trục đối xứng và các giao điểm là các đỉnh của hình vuông nên (E) và (C) có 1 giao điểm với tọa độ dạng (Aleft( t;t right)) với (t>0)
Vì (Ain left( C right)Rightarrow {{t}^{2}}+{{t}^{2}}=8Rightarrow t=2)
Vì (Aleft( 2;2 right)in left( E right)Leftrightarrow frac{4}{{{16}^{2}}}+frac{4}{{{b}^{2}}}=1Leftrightarrow {{b}^{2}}=frac{16}{3})
Vậy phương trình chính tắc của (E) là: (frac{{{x}^{2}}}{16}+frac{3{{y}^{2}}}{frac{16}{3}}=1)
Đáp án B.
Trên đây là toàn bộ nội dung tài liệu Tóm tắt lý thuyết và bài tập về vị trí tương đối của một điểm và một đường thẳng với (E) có đáp án chi tiết. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Chúc các em học tốt!